4.1 难解问题图学习方法求解
诸多图问题本身就属于难解问题，例如旅行商问题、最大割问题 等。此外，许多其他的难解问题可以通过转化为图问题来进行求解。这种转化通常涉及将问题中的元素映射为图中的节点，并利用图中的 边来表示元素之间的关系或约束。例如，布尔可满足性问题可以转化 为图的着色问题，线性规划问题可以转化为图的最大流或最小割问题，调度优化问题也可以转化为图着色问题进行求解等等。在图问题的求 解过程中，图中的拓扑结构和边的关系对难解问题求解具有较大的影 响。例如，在任务调度问题中，图中节点代表任务，边表示任务之间 的依赖关系。图的拓扑结构可以用来判断是否存在循环依赖，并帮助 确定任务的执行顺序。图结构在求解难解问题中发挥着重要作用，利 用图结构求解难解问题可以提供更好的问题表征。由于难解问题通常 具有复杂的结构和相互依赖关系，图结构提供了一种有效的方式来表 示和分析这些难解问题的底层逻辑和层谱结构。通过将问题建模为图 结构，可以利用图中的拓扑信息、节点特征和边关系来理解问题，并 设计相应的图学习算法和利用图学习模型来求解难解问题。
图学习是机器学习领域的一个重要分支，专注于处理和分析图数据。图数据具有节点和边的关系，能够描述实体之间的复杂交互和依
赖关系。图学习的目标是通过学习图数据中的模式、结构和特征，从中提取知识并进行预测。与传统的数据形式（如表格或向量）不同，图数据的处理需要考虑节点之间的连接和依赖关系，以及节点本身的属性特征。图学习算法可以自动发现图中的模式、社区、中心节点和相似性等重要信息，从而对新的节点特征或边特征进行推断。在图层级上，图学习可以用于进行分类或回归任务。在节点层级上，图学习可以用于进行节点属性预测。在边层级上，图学习可以用于进行边属性预测或缺失边预测。在子图层级上，图学习可以用于进行社区检测或子图属性预测。
图学习方法已被广泛应用于求解各种难解问题，例如旅行商问题，最大割问题，调度问题等。难解问题图学习方法的求解思路包含问题 的图表征、图特征的学习、目标优化函数设计和问题求解几个关键步 骤。在问题的图表征阶段，需要建立待求解难解问题与图的关系，将 问题中的实体抽象为图的节点，将实体间的抽象关系构建为图的边连 接，并为每个节点和边赋予恰当的特征。这个阶段的关键目标是构建 一个精准且可以被图学习算法处理的图模型。图特征的学习阶段主要 是通过图神经网络或其他相关算法，对图的节点和边的特征进行编码 和学习，从而得到一个可以反映图结构和特征的向量。这一步的目标 是提取出图的关键特征，从而为后续的优化和求解提供数据支持。在 目标优化函数设计阶段，需要设计一个具体的目标优化函数，用以度 量当前图的状态和期望的学习目标之间的差距。对于不同的难解问题，这个优化函数可能会有所不同。最后是问题的求解阶段，主要通过学 习的模型特征，在满足各种约束条件的情况下，利用模型决策预测找 到问题的最优解或近似解。例如，在旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的求解中，其目标是寻找一条可以遍历所有城市并返 回原点的最短路径。这个问题的主要挑战在于随着城市数量的增加，可能的路线组合呈指数级增长。图学习可以利用图卷积神经网络，学
习旅行商问题中的图结构特性和节点间的关系，挖掘问题的全局结构，并根据当前求解状态对近似最优的路径选择进行预测，大大降低了搜 索空间和计算复杂度。对于最大割问题，其目标是在一个给定的无向 图中将图中节点分成不同子集，使得子集之间的边权之和最大。图学 习方法可以融合最大割问题中的节点与其邻居节点的特征，使得每个 节点都能获取其周围邻居的信息。具体的，学习方法经过多层图卷积 操作，使得每个节点的特征将会包含更广泛的 k-跳邻域信息。图卷积 网络能够捕获到图的深度结构信息，并利用学习的特征进行分割决策，从而实现对最大割问题的求解。难解问题的图学习求解方法主要可以 分为两类，一类是基于端到端学习（End To End Learning）的求解方 法，另一类是基于决策配置学习（Learn To Configure）的求解方法。
基于端到端学习的求解算法是一种完全依赖端到端训练完成问题求解的方法。该方法的核心是通过构建一个端到端的模型，接收输入的问题图表征，经过学习和训练，直接输出问题的最优解或者近似解。这类方法一般采用图神经网络技术，其优点在于可以自动学习到问题的复杂特征和规律，并通过不断的训练，不断优化其学习效果。然而，端到端的方法也存在一定的缺点，即需要大量的实例数据和计算资源来训练、优化模型，并且端到端方法在模型训练的过程中很难进行有效的控制和干预。
基于决策配置学习的求解方法主要利用机器学习方法，尤其是图 卷积神经网络、图循环神经网络等确定最佳的决策配置选择。此类方 法通过反复的试错和学习，不断优化其算法决策的编码特征，最终找 出一个近似最优的算法决策配置。基于决策配置学习的求解方法可以 帮助确定难解问题求解过程中算法下一步应该探索的方向。具体来说，基于决策配置学习的求解方法首先使用图神经网络提取难解问题实 例的图编码特征。然后，基于这些特征，决策配置学习将训练一个模 型来预测算法学习特征的重要性。在每一步的决策优化中，决策配置
学习求解方法都会根据当前的状态和已经学习到的特征重要性，选择一个算法的近似最优决策。然后，根据这个算法决策的结果，自动调整其决策策略，以便后续做出更好的决策。这种方法的优点在于，在经过一定量的训练后，决策配置学习求解方法可以自动的找到一个有效的重要性特征刻画和算法决策策略，从而在很大程度上减轻了人工干干预和参数调整优化。同时，通过持续的学习和优化，决策配置学习求解方法也能够不断改进其决策策略，以适应不断变化的难解问题环境。
图学习方法已被广泛应用于求解各种难解问题，这些问题包括路径规划问题、最大割问题、作业调度问题以及资源分配问题等。下面将以路径规划问题、最大割问题和作业调度问题为例，详细阐述图学习方法求解难解问题的具体方式和策略。