5.1 问题提法和基本概念⚓︎

第五章假设检验⚓︎

1. 1 问题提法和基本概念⚓︎

2. 1 .1 例子与问题提法⚓︎

假设检验的概念在第四章 4.1 节中就曾提到了. 这里我们先通过对几个常用例子的分析, 总结出假设检验问题提法的形式. 然后在这个基础上,引进关于假设检验的一些基本概念.

例 1.1 在 4.1 节中我们曾提到一个在元件寿命服从指数分布的假定下, 通过对抽出的若干个元件进行测试所得的数据 (样本), 去判定“元件平均寿命不小于 5000 小时”是否成立的问题.

我们把与这个问题有关的事项, 用统计学的语言清楚列出如下:

我们有一个总体, 即所考察的那一大批元件的寿命. 我们对总体分布作了一个假定, 即它服从指数分布 (第二章 \((1.20)\) 式), 该分布包含了一个末知参数 \(\lambda\).
我们有从该总体中抽出的样本 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) (即抽出的那 \(n\) 个元件测试出的寿命).
我们有一个命题, 其正确与否完全取决于末知参数 \(\lambda\) 之值, 即“ \(1 / \lambda \geqslant 5000\) ”. 它把参数 \(\lambda\) 的所有可能取的值 \(0<\lambda<\infty\) 分成两部分: 一部分是 \(H_{0}=\{\lambda: \lambda \leqslant 1 / 5000\}\), 一部分是 \(H_{1}=\{\lambda: \lambda>\) \(1 / 5000\} . H_{0}\) 内的 \(\lambda\) 值使上述命题成立, 而 \(H_{1}\) 内的 \(\lambda\) 值则使上述命题不成立. 故我们的命题可记为: “ \(\lambda\) 属于 \(H_{0}\) ” 或用符号写为 “ \(\lambda \in\) \(H_{0}\) ”, 以至简记为 “ \(H_{0}\) ”.
我们的任务是利用所获得的样本 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\), 去判断命题 “ \(\lambda \in H_{0}\) ”是否成立. 其所以能这么做, 当然是因为样本中包含了总体分布的信息，也就包含了“ \(\lambda \in H_{0}\) ”是否成立的信息. 在数理统计学上,把类似于上述 “ \(\lambda \in H_{0}\) ”这种命题称为一个 “假设”或“统计假设”.“假设”这个词在此就是一个其正确与否有待通过样本去判断的陈述. 不要把它和通常意义相混. 例如在数学上常说 “假设某函数处处连续”之类的话, 那是一个所讨论的问题中已被承认的前提或条件, 与此处所讲的完全不同.

在数理统计学上,通用“检验”一词来代替上文的“判断”. 检验一词有动词名词两种含义. 动词含义是指判断全过程的操作, 而名词的含义是指判断准则. 例如, 就本例而言一个看来合理的判断准则是: “当 \(\bar{X} \geqslant C\) 时认为假设 \(\lambda \in H_{0}\) 正确, 不然就认为它不正确” ( \(C\) 是一个适当的常数, 以后再谈). 这就是一个检验 (名词). “认为假设正确”在统计上称为接受该假设; “认为假设不正确”在统计上称为否定或拒绝该假设. 到此为止统计问题可以说已完成了: 至于接受或否定假设以后如何办(如在本例中, 若认为 \(\lambda \geqslant 1 / 5000\) 不成立,该如何处理)? 这不是我们要考虑的事.

以下几例的解释都与上述过程完全平行.

例 1.2 有人给我一根金条,他说其重量为 312.5 克. 我现在拿到一架精密天平上重复秤 \(n\) 次, 得出结果为 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\). 我假定此天平上秤出的结果服从正态分布 \(N\left(\mu, \sigma^{2}\right)\) (这是一个假定, 它已被承认，不是检验对象). 这时, 我要检验的假设为: “ \(\mu=\) 312.5 ”. 在本例 \(\sigma\) 可以已知或末知. 如果 \(\sigma\) 末知, 则总体分布含多个参数, 但假设可以只涉及其中一个. 问题也可以是检验方差 (当然, 在方差 \(\sigma^{2}\) 末知时): 比如, 人家告诉我这天平的误差方差为 \(10^{-4}\left(\mathrm{~g}^{2}\right)\), 我怀疑它是否如此, 这时我可以拿一个物件在该天平上秤 \(n\) 次得 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\). 利用这些数据去检验假设 “ \(\sigma^{2}=10^{-4}\) ”. 仍假定总体为正态分布 \(N\left(\mu, \sigma^{2}\right), \mu\) 就是那个物件之重, 它可以已知 (例如你拿一个其重量已经测定的物体去秤), 也可以末知.

例 1.3 某工厂一种产品的一项质量指标假定服从正态分布 \(N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)\). 现在对其制造工艺作了若干变化,人们说结果质量起了变化或有了改进. 我想通过样本来检验一下.

假定修改工艺后, 质量指标仍服从正态分布, 且只均值可能有变而方差不变, 即分布为 \(N\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right)\). 我把要检验的假设定为

\[ H_{0}:\left\{\mu_{1}=\mu_{2}\right\} \]

或 (设均值大时, 质量为优)

\[ H_{0}{ }^{\prime}:\left\{\mu_{1} \geqslant \mu_{2}\right\} \]

这要仔细解释一下.

选 \(H_{0}\), 是针对“质量起了变化”的说法. 由于你不能华空说 \(\mu_{2}\) 不等于 \(\mu_{1}\), 我就先作假设 \(H_{0}\). 如果经过检验 \(H_{0}\) 被否定了, 则我承认质量起了变化, 不然就只好仍维持 \(H_{0}\). 自然, 你可能辨驳说, 为何不取 \(\left\{\mu_{1} \neq \mu_{2}\right\}\) 作为假设去检验? 这不也一样: 你接受了它, 即为质量确有变化; 若否定了它, 则认为无变化. 从表面上看这个提法无可非议，因为两种提法从实质上看只是表述方式不同. 但有其不可这样做的理由, 这一点在以后将予以解释, 现在还说不清楚.

选 \(H_{0}{ }^{\prime}\) 是针对 “质量有了改进”的说法,与上文类似.

本例中 \(\sigma^{2}\) 可以是已知或末知,在应用上以末知的情况居多. 又 “工艺变化前后质量方差一样” 是一个多少有点人为的假定 (一般, 质量的改进也常反映在其波动变小上, 即方差会小些). 如假定前后方差不一样, 则得到贝伦-费希尔检验问题, 这是数理统计学上的一个著名的问题,其区间估计形式已在前章讲过了.

如果不认为质量的平均值有多大问题, 而问题在其方差上, 则假定在工艺改变前后, 质量指标的分布分别为 \(N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)\) 和 \(N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)\). 这时要检验的假设可以是“ “ \(\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\) ”或“ \(\sigma_{1}^{2} \leqslant \sigma_{2}^{2}\) ”.

例 1.4 甲、乙两位棋手下棋. 其下 \(n\) 局, 甲 \(m\) 胜 \(n-m\) 负 (设无和局). 根据这一结果对两位棋手的技艺是否有差别下一个判断.

若以 \(p\) 记每局中甲胜的概率, 则乙胜的概率为 \(1-p\). 假定每局的结果独立 (这很接近事实, 除非其中一位或两位的心理素质差, 以致已赛各局的结果显著地影响着他的情绪). 则若以 \(X\) 记在 \(n\) 局中甲胜的局数, 将有 \(X \sim B(n, p)\). 我们的问题可提为: 检验假设“ \(p=1 / 2\) ”.

例 1.5 有一颗供赌博或其他用途的般子, 怀疑它是否均匀, 要用投郑若干次的结果去检验它. 若以掷出点数的概率分布来表示,所要检验的内容可表为假设

\[ H_{0}: p_{1}=p_{2}=\cdots=p_{6}=1 / 6 \]

这里 \(p_{i}\) 是骰子掷出 \(i\) 点的概率. 这意味着把骰子的均匀性解释为: 它掷出任何一点的机会都相同.

从以上诸例我们明确了假设检验问题的提法. 现在介绍假设检验中几个常用的名词.

原假设和对立假设

在假设检验中,常把一个被检验的假设叫做原假设,而其对立面就叫做对立假设. 如在例 1.1 中, 原假设为 \(H_{0}: \lambda \leqslant 1 / 5000\), 故对立假设为 \(H_{1}: \lambda>1 / 5000\). 在例 1.5 中, 原假设 \(H_{0}\) 为 \((1.1)\), 而对立假设为 \(H_{1}\) : “ \(p_{1}, \cdots, p_{6}\) 不完全相同”.

原假设中的 “原” 字, 字面上可解释为 “原本有的”. 如在例 1.2 , 你可以说 \(\mu=312.5\) 原本就不存在问题, 只因有人怀疑, 才提出了也存在 \(\mu \neq 312.5\) 的可能. \(\mu=312.5\) 是 “原有” 的而 \(\mu \neq\) 312.5 是“后来的”. 这样的解释也并非处处适合 (见下), 的确, 对这个“原”字不必硬加一种解释。

原假设又常称为 “零假设”或 “解消假设” “ . 这名词的含义拿例 1.3 中的假设 \(H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}\) 去看最贴切. 因为, \(\mu_{1}-\mu_{2}\) 反映工艺变化后所产生的效应. 你这个假设 \(H_{0}\) 把这个效应化为零了, 或把这个效应 “解消”了. 不难理解: 在有些情况下这个名词也并非很贴切,故也有不少人不高兴用这名称.

对立假设就是与原假设对立的意思. 这个词既可以指全体，也可以指一个或一些特殊情况, 例如对例 1.1 , 我们说对立假设是 \(\lambda>1 / 5000\), 这是指全体. 但也可以说 \(\lambda=1.5\) 是一个对立假设,这无非是指 1.5 这个值是对立假设的一个成员. 对立假设也常称为

零假设或解消假设都是从英语 Null Hypothesis 一词而来. “备择假设”, 其含义是: 在抛弃原假设烏可供选择的假设.
检验统计量、接受域、否定域、临界域和临界值

在检验一个个假设时所使用的统计量称为检验统计量. 拿例 1.1 来说,我们前已提到了一个在直观上合理的检验: 当 \(\bar{X} \geqslant C\) 时接受原假设, 不然就否定. 这里用的检验统计量是 \(\bar{X}\).

使原假设得到接受的那些样本 \(\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 所在的区域 \(A\), 称为该检验的接受域, 而使原假设被否定的那些样本所成的区域 \(R\),则称为该检验的否定域. 否定域有时也称为拒绝域, 临界域. 如在例 1.1 中, 刚才所提到的检验的接受域为

\[ A=\left\{\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right): X_{1}+\cdots+X_{n} \geqslant n C\right\} \]

否定域为

\[ R=\left\{\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right): X_{1}+\cdots+X_{n}<n C\right\} \]

\(A\) 与 \(R\) 互补, 知其一即知其…定一个检验, 等价于指定其接受域或否定域.

在上述检验中, \(C\) 这个值处于一个特殊的地位: \(\bar{X}\) 之值一越过 \(C\) 这个界线, 结论就由接受变为否定. 这个值 \(C\) 称为检验统计量 \(\bar{X}\) 的临界值. 当心中明确了用什么统计量时，也可以说“检验的临界值”. 例如, 若心中已明确用统计量 \(X_{1}+\cdots+X_{n}\), 则临界值为 \(n \mathrm{C}\). 也订以有不止一个临界值. 如在例 1.1 , 若要检验的原假设改为“ \(\lambda=1 / 5000\) ”, 则一个合理的检验法是: 当 \(C_{1} \leqslant \bar{X} \leqslant C_{2}\) 时, 接受,不然就否定. \(C_{1}, C_{2}\) 是两个适当选定的常数,它们都是临界值。

3. 3. 简单假设和复合假设⚓︎

不论是原假设还是对立假设, 若其中只含一个参数值, 则称为简单假设,否则就称复合假设.

如在例 1.1 中，原假设 \(\lambda \leqslant 1 / 5000\) 包含所有大于 0 而不超过 \(1 / 5000\) 的 \(\lambda\) 值, 它是复合的; 对立假设 \(\lambda>1 / 5000\) 也为复合. 再看例 1.2. 若 \(\sigma^{2}\) 已知, 则原假设只含参数 \(\mu\) 的一个值 312.5 , 故是一个简单假设; 若 \(\sigma^{2}\) 末知, 则原假设包含了所有形如

\[ \left(312.5, \sigma^{2}\right): \sigma^{2} \text { 任意 } \]

的参数值, 故是复合的. 这里的要点是: 在决定-一个假设是简单还是复合时, 要考虑到总体分布中的一切参数, 而不止是直接出现在假设中的那部分参数. 如在本例, \(\sigma^{2}\) 虽则不出现在假设中, 但因为它是总体分布的末知参数, 故仍要考虑进来. 这种参数(如此处的 \(\left.\sigma^{2}\right)\) 在数理统计学上称赘余参数 \({ }^{*}\) 在区间估计中这个名词也常提到, 例如在正态总体 \(N\left(\mu, \sigma^{2}\right)\) 中, \(\mu, \sigma^{2}\) 都末知, 要作 \(\mu\) 的区间估计,这时 \(\sigma^{2}\) 就是赘余参数.

3.1. 2 功效函数⚓︎

功效函数是假设检验中最重要的概念之一. 在以下将看到: 同一个原假设可以有许多检验法, 其中自然有优劣之分. 这区分的依据, 就取决于检验的功效函数.

例 1.6 再考虑例 1.1, 并设我们取定了如下的检验 \(\Phi\) :

\[ \Phi \text { : 当 } \bar{X} \geqslant C \text { 时接受, 不然就否定 } \]

如果我们使用这个检验,则原假设 \(H_{0}: \lambda \leqslant 1 / 5000\) 被接受或否定, 都是随机事件, 因为其发生与否, 要看样本 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 如何, 而样本是随机的. 在此,原假设被否定的概率为

\[ \beta_{\Phi}(\lambda)=P_{\lambda}(\bar{X}<C) \]

\(P_{\lambda}\) 的意义以前解释过, 它是指事件 \(\{\bar{X}<C\}\) 的概率, 是在总体分布的参数值为 \(\lambda\) 时去计算的. 因为 (见第二章例 4.9\() 2 \lambda\left(X_{1}+\cdots+\right.\) \(\left.X_{n}\right) \sim \chi^{\frac{2}{2} n}\), 故如以 \(K_{2 n}\) 记 \(\chi^{\frac{2}{2} n}\) 的分布函数, 则有

\[ \begin{aligned} \beta_{\Phi}(\lambda) & =P_{\lambda}\left(X_{1}+\cdots+X_{n}<n C\right) \\ & =P_{\lambda}\left(2 \lambda\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right)<2 \lambda n C\right) \\ & =K_{2 n}(2 \lambda n C) \end{aligned} \]

其值与 \(\lambda\) 有关, 且随 \(\lambda\) 上升而增加. 因为 \(\lambda\) 愈大, 离开原假设 \(\lambda \leqslant\) \(1 / 5000\) 就愈远, 一个合理的检验法就应当用更大的概率去否定

“英语 Nuisance Parameter. 也有译为“多余参数”或“讨优参数”的, 含们使洲题夏杂化的意味. 它.

函数 (1.3) 就称为检验 (1.2) 的功效函数. 由此, 提出下面一般定义:

定义 1.1 设总体分布包含若干个末知参数 \(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k} . H_{0}\) 是关于这些参数的一个原假设,设有了样本 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\), 而 \(\Phi\) 是基于这些样本而对 \(H_{0}\) 所作的一个检验. 则称检验 \(\Phi\) 的功效函数为

\[ \beta_{\Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)=P_{\theta_{1}} \cdots, \theta_{k} \text { (在检验 } \Phi \text { 之下, } H_{0} \text { 被否定) } \]

它是末知参数 \(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\) 的函数.

容易明白: 当某一特定参数值 \(\left(\theta_{1}^{0}, \cdots, \theta_{k}^{0}\right)\) 使 \(H_{0}\) 成立时，我们希望 \(\beta_{\Phi}\left(\theta_{1}^{0}, \cdots, \theta_{k}^{0}\right)\) 尽量小 (当 \(H_{0}\) 成立时我们不希望否定它). 反之, 若 \(\left(\theta_{1}^{0}, \cdots, \theta_{k}^{0}\right)\) 属于对立假设,则我们希望 \(\beta_{\Phi}\left(\theta_{1}^{0}, \cdots, \theta_{k}^{0}\right)\) 尽量大 (当 \(H_{0}\) 不成立时我们希望否定它). 两个检验 \(\Phi_{1}, \Phi_{2}\) (同一个原假设的)哪一个更好地符合了这个要求, 哪一个就更好.

由于当 \(\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 属于对立假设时, 我们希望功效函数值 \(\beta_{\Phi}\) \(\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 尽可能大, 故在 \(\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 属于对立假设时,称 \(\beta_{\Phi}\left(\theta_{1}\right.\), \(\left.\cdots, \theta_{k}\right)\) 为检验 \(\Phi\) 在 \(\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 处的 “功效”. 这称呼只用于对立假设处. 因为, 当 \(\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 属于原假设时, \(\beta_{\Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 以小为好，这时称它为“功效”就不合情理了.

4. 1 .3 两类错误、检验的水平⚓︎

在检验一-一个假设 \(H_{0}\) 时, 有可能犯以下两类 (或两种) 错误之 \(\cdots: 1 . H_{0}\) 正确,但被否定了;2. \(H_{0}\) 不正确,但被接受了. 可能犯哪一类错误, 要视总体分布中有关的参数值而定. 如在例 1.1 中, 若参数 \(\lambda\) 之值为 0.0001 , 则我们只可能犯第一种错误, 而当 \(\lambda=\) 0.1 时, 则只可能犯第二种错误.

若以 \(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\) 记总体分布的参数, \(\beta_{\Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 记检验 \(\Phi\) 的功效函数, 则犯第一、二类错误的概率 \(\alpha_{1 \Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 和 \(\alpha_{2 \Phi}\) \(\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\), 分别为

\[ \begin{aligned} & \alpha_{1 \Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)= \begin{cases}\beta_{o}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right), & \text { 当 }\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \in H_{0} \\ 0, & \text { 当 }\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \in H_{1}\end{cases} \\ & \alpha_{2 \Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)= \begin{cases}0, & \text { 当 }\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \in H_{0} \\ 1-\beta_{\Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right), & \text { 当 }\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \in H_{1}\end{cases} \end{aligned} \]

这里 \(H_{1}\) 是对立假设.

在检验一个假设 \(H_{0}\) (对立假设 \(H_{1}\) ) 时, 我们希望犯两种错误的概率都尽量小.看表达式 (1.5) 和(1.6), 即得出我们在上段中已提到过的结论, 即在选择一个检验 \(\Phi\) 时, 要使其功效函数 \(\beta_{\Phi}\) 在 \(H_{0}\) 上尽量小而在 \(H_{1}\) 上尽量大. 但这两方面的要求是矛盾的. 正好像在区间估计中,你要想增大可靠性即置信系数,就会使区间长度变大而降低精度, 反之亦然. 在区间估计理论中, 是用“保一望二”的原则解决了这个问题, 即使置信系数达到指定值, 在这限制之下使区间精度尽可能大. 在假设检验中也是这样办: 先保证第一类错误的概率不超过某指定值 \(\alpha(\alpha\) 通常较小, 最常用的是 \(\alpha=\) 0.05 和 0.01 , 有时也用到 \(0.001,0.10\), 以至 0.20 等值), 再在这限制下, 使第二类错误概率尽可能小.

定义 1.2 设 \(\Phi\) 是原假设 \(H_{0}\) 的一个检验, \(\beta_{\Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)\) 为其功效函数, \(\alpha\) 为常数, \(0 \leqslant \alpha \leqslant 1\). 如果

\[ \beta_{\Phi}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \leqslant \alpha \text {, 对任何 }\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \in H_{0} \]

则称 \(\Phi\) 为 \(H_{0}\) 的一个水平 \(\alpha\) 的检验, 或者说, 检验 \(\Phi\) 的水平为 \(\alpha\), 检验 \(\Phi\) 有水平 \(\alpha\).

显然,若 \(\alpha\) 为 \(\Phi\) 的水平而 \(a_{1}>a\), 则 \(\alpha_{1}\) 也是检验的水平. 这样, 一检验的水平并不唯一. 为克服这点不方便之处, 通常只要可能, 就取最小可能的水平作为检验的水平. 不少著作中就直接把水平定义为满足 (1.7) 式的最小的 \(\alpha\). 这样做, 唯一性的问题解决了, 固然是好, 但也有其不便之处, 即有时我们只知道 (1.7) 成立, 而无法证明 \(\alpha\) 已达到最小, 这时就不能称 \(\alpha\) 为 \(\Phi\) 的水平, 不好如何称呼. 因此, 我们维持定义 1.2 , 但有这样一个默契: 只要可能, 尽量找最小的 \(\alpha\). 以上所说的叫做 “固定 (或限制) 第一类错误概率的原则”, 是目前假设检验理论中一种流行的做法.你可以问 : 为什么不固定第二类错误概率而在这个前提下尽量减小第一-类错误的概率? 回答是 : 你这么做并非不可以,但是,大家约定统一在一个原则下,讨论问题比较方便些, 这还不是主要理由.从实用的观点看, 确实, 在多数假设检验问题中,第一类错误被认为更有害, 更需要控制, 这一点将结合下…节中实例的讨论再作说明.也有些情况, 确实第…… 错误的为害更大, 这时有必要控制这个概率,换句话说，“控制第一类错误概率”的原则也并非绝对的,可视情况的需要而变通之.

5. 1 .4 一致最优检验⚓︎

定义 1.3 沿用定义 1.2 的记号. 设 \(\Phi\) 为一个水平 \(\alpha\) 的检验, 即满足 (1.7). 若对任何其他一个水平 \(\alpha\) 的检验 \(g\), 必有

\[ \beta_{o}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \geqslant \beta_{g}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \text {, 对任何 }\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \in H_{1} \]

这里 \(H_{1}\) 为对立假设. 则称 \(\Phi\) 是假设检验问题 \(H_{0}: H_{1}\) 的一个水平 \(\alpha\) 的一致最优检验.

\(-\beta \varpi_{1}(\theta)\)

\(---\beta_{\varpi_{2}}(\theta)\)

图 5.1

简单地说,水平 \(\alpha\) 一致最优检验, 就是在一切水平 \(\alpha\) 的检验中, 其功效函数在对立假设 \(H_{1}\) 上处处达到最大者. 或者说, 是在一切其第一类错误概率不超过 \(\alpha\) 的检验中, 第二类错误概率处处达到最小者. 难就难在“处处” 这两个字.“一致最优”中的“一致”, 就是指这个 “处处”而言. 就拿两个检验 \(\Phi_{1}\) 和 \(\Phi_{2}\) 的比较来谈. 为清楚计, 不妨设原假设 \(H_{0}\) 为 \(\theta \leqslant 1\), 对立假设 \(H_{1}\) 为 \(\theta>1\). 设 \(\Phi_{1}\) 和 \(\Phi_{2}\) 都是水平 \(\alpha\) 的检验, 其功效函数分别如图 5.1 中的实线和虚线所示. 在对立假设 \(\theta_{1}\) 处, \(\beta_{\Phi_{1}}\) 大于 \(\beta_{\Phi_{2}}\). 而在 \(\theta_{2}\) 处则是 \(\beta_{\Phi_{2}}\) 大于 \(\beta_{\Phi_{1}}\). 故在这两个检验 \(\Phi_{1}, \Phi_{2}\) 中, 没有一个在对立假设各点处处优于另一个. 由于水平 \(\alpha\) 的检验非常多, 其中能有一个一致最优者, 就不是常见的情况而是较少有的例外, 更确定地说, 只在总体分布只依赖一个参数 \(\theta\), 而原假设 \(H_{0}\) 是 \(\theta \leqslant \theta_{0}\) 或 \(H_{0}\) 是 \(\theta \geqslant \theta_{0}\) 的情形, 且对总体分布的形式有一定的限制时, 一致最优检验才存在. 其他情况则是稀有的例外. 在下节我们讨论一些具体检验时, 将指明哪些是一致最优检验. 有的情况的证明将在本章附录中给出.

由于一致最优的条件太高, 在假设检验理论中也引人了另一些优良准则. 这些都超出了本课程的范围之外, 不能在此介绍了.

本节所讲的假设检验理论的基本概念, 特别是限制第一类错误概率的原则及一致最优检验等, 是 \(J\). 奈曼 (前在区间估计一节中已提到) 和英国统计学家 E. S. 皮尔逊 (K. 皮尔逊的儿子) 合作, 自 1928 年起开始引进的. 基于这些概念所发展的假设检验理论, 一般称之为奈曼一皮尔逊理论. 从统计学的历史看, 最早引进假设检验并对之作了重要贡献的统计学家, 还要算我们以前多次提到过的 K. 皮尔逊和 R. A. 费歇尔. 皮尔逊的工作将在本章 5.3 节中介绍。