练习⚓︎
- 在模型 (2.6) 中用配方的方法 (不求助于求偏导数), 以决定最小二乘 估计 (2.12)和 (2.13), 并由此得出残差平方和的表达式 (2.23).
- 在模型 (2.6) 中, 假定 (2.5) 成立, 仍记残差为 \(\delta_{1}, \cdots, \delta_{n}\). 证明以下各 点: (a) \(E\left(\delta_{i}\right)=0, i=1, \cdots, n\).
(b) \(\delta_{1}, \cdots, \delta_{n}\) 不相互独立.
(c) \(\operatorname{Var}\left(\delta_{i}\right)=\left(1-\frac{1}{n}-\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} / S^{2}\right) \sigma^{2}\)
(d) \(\operatorname{Cov}\left(\delta_{i}, \delta_{j}\right)=-\left(\frac{1}{n}+\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(X_{j}-\bar{X}\right) / S^{2}\right) \sigma^{2}, i \neq j\).
- 设样本 \(X_{1}, \cdots, X_{n} \sim N\left(a, \sigma^{2}\right), Y_{1}, \cdots, Y_{m} \sim N\left(b, \sigma^{2}\right), a, b, \sigma^{2}\) 都末 知, 为要估计 \(b-a\) 或检验暇设 \(H_{0}: b-a=c\) (c已知), 可利用线性回归的理 论去做. 指出具体怎样做的办法.
- 考虑过原点的线性回归模型
误差 \(e_{1}, \cdots, e_{n}\) 仍假定满足条件 (2.5).
(a) 给出 \(b\) 的最小二乘估计 \(\hat{b}\).
（b）给出残差平方和 \(R=\sum_{i=1}^{n} \delta_{i}^{2}\) 的表达式,并证明: \(R /(n-1)\) 是误差方 差 \(\sigma^{2}\) 的无偏估计. 这与不一定过原点的模型有何不同? 为何有这个不同?
(c) 用附录 \(\mathrm{A}\) 中的方法, 证明当误差服从证态分布时, 有 \(R / \sigma^{2} \sim \chi_{n-1}^{2}\).
(d) 给出回归系数 \(b\) 的区间估计.
- 考虑回归模型 (2.4), 而 \(c_{1}, c_{2}\) 为已知常数. 假定 (2.5) 且设误差服从 正态分布,求 \(c_{1} a+c_{2} b\) 的区间估计.
- 从一元线性回归的讨论中出现儿个有趣而初等的数学问题. 现列举 如下请读者考虑:
(a) 由第 2 题的 (c), 根据方差非负, 可知: 对任意 \(n\) 个实数 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\), 有
等号在何时达到?
(b) 在 6.2 节 6.2 .3 段末尾处提到的断言: 若 \(X_{1}, X_{2}, \cdots\), 是一串实数, 记 \(\bar{X}_{n}=\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right) / n, S_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\), 则对任何固定的实数 \(a\), 有 \(\left(a-\vec{X}_{n}\right)^{2} / S_{n}^{2} \rightarrow 0\) 当 \(n \rightarrow \infty\). 这个事实的统计意义已在 6.2 节 (6.2.3) 段中说 明过了. （c）我们已证明:在模型 (2.6)及假定 (2.5)之下, \(\operatorname{Var}\left(\hat{\beta}_{1}\right)=\sigma^{2} / S^{2}, S^{2}\) \(=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\). 当然, 方差息小愈好. 故如限制试验点 \(X_{i}\) 只能取在某有限 区间 \([A, B]\) 内, 就有一个如何配置这些点, 以使 \(S^{2}\) 达到最大的问题. 证明这 问题的解是: 若 \(n\) 为偶数 \(2 m\), 则取 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 中有 \(m\) 个 \(A\) 及 \(m\) 个 \(B\); 若 \(n\) 为奇数 \(2 m+1\), 则取 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 中有 \(m\) 个 \(A\) (或 \(B\) ), \(m+1\) 个 \(B\) (或 \(A\) ). 不 过, 在实用上, 这个设计并不一定被采用, 除非我们对回归函数为线性函数这 一点绝无疑义. 因为, 这个设计只采用两个自变量值, 它无法借助于观察数据 去发现真实的回归函数与线性函数的可能的偏差.
- 证明 6.3 节 6.3 .1 段末尾处多元回归系数最小二乘估计的三个性 质.
- 设 \(\left(X_{1}, Y_{1}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)\) 是从二维正态总体 \(N\left(a, b, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)\) 中抽 出的样本, 以 \(r\) 记样本相关系数. 用以下的思路证明当 \(\rho=0\) 时, \(\sqrt{n-2} r /\) \(\sqrt{1-r^{2}}-t_{n-2}\) : 固定 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\), 考虑 \(Y_{1}, \cdots, Y_{n}\) 的条件分布, 因为 \(\rho=0\) 表 示 \(X_{i}, Y_{i}\) 独立, 故 \(Y_{1}, \cdots, Y_{n}\) 的条件分布即是其无条件分布, 即 \(Y_{1}, \cdots, Y_{n}\) 独立, 有公共分布 \(N\left(b, \sigma_{2}^{2}\right)\). 这可写为回归模型.
回归系数 \(\beta_{1}=0, e_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right), \sigma^{2}=\sigma_{2}^{2}\). 然后在这个模型中使用 (2.26) (记住 \(\left.\beta_{1}=0\right)\) ), 证明 (2.26) 式左边正好就是 \(\sqrt{n-2} r / \sqrt{1-r^{2}}\). 这样就证明了在给 定 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 的条件下, \(\sqrt{n-2} r / \sqrt{1-r^{2}}\) 的条件分布总是 \(t_{n-2}\) 与 \(X_{1}, \cdots\), \(X_{n}\) 无关. 因此 \(\sqrt{n-2} r / \sqrt{1-r^{2}}\) 的无条件分布就是 \(t_{n-2}\). 其所以要在给定 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 的条件下来考虑, 是因为线性模型 (1) 有关的理论, 特别是 (2.26) 式, 都是在 \(X_{i}\) 为常数的情况下给出的.
9 考虑下面的统计模型: 样本 \(X_{1}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, \cdots, Y_{n}\) 独立, \(X_{i} \sim N\left(d_{i}\right.\) \(\left.+a, \sigma^{2}\right), Y_{i} \sim N\left(d_{i}+b, \sigma^{2}\right), i=1, \cdots, n\). 这里 \(d_{1}, \cdots, d_{n}\) 和 \(a, b, \sigma^{2}\) 都末知， 要检验假设 \(H_{0}: a=b\).
（a）试通过使用 \(Z_{i}=Y_{i}-X_{i}, i=1, \cdots, n\), 用 \(t\) 检验来处理这个问题.
(b) 说明: 这个模型事实上是一个随机区组试验模型,共有 \(n\) 个区组, 区 组大小为 2 . 写出化到这样一种模型的过程.
(c) 用随机区组模型的 \(F\) 检验来处理 \(H_{0}\) 的检验问题, 证明它与用 (a) 中 的方法得到的一致. 10. 验证一下,下面的表是正交表:
| 行 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 6 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 7 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 8 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 |
按正交表命名法,这个表的名称应是什么? 它在用来安排试验时受到哪 些限制? 现如有三个两水平因子 \(A, B, C\), 共做 8 次试验, 并分两个区组做, 这试验如何用这张表安排? 写出其方差分析表.
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