7.3.2 模型定义
公平分配问题是由一个集合 M 和 n 个参与者来定义的。一个分配就是将 M 分为 n 个不相交的子集：𝑀 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛，并且使每一位参与者得到一个子集。其中集合 M 有两种类型：
（1）M 是包含不可分物体的有限集合。例如：𝑀 = {钢琴, 房子,
汽车}。这类物品必须整体的分给某一个参与者而不能分割。
（2）M 是一个无限集，代表一种可分割的资源，例如：金钱或蛋糕。在数学上，可分割资源通常被建模为实数空间的一个子集，比
如，[0,1]。可以把它理解为一个狭长的蛋糕，它必须被切成平行的几块，来分给每位参与人。
定义 1（可分割物品的分配）人们通常用“切蛋糕”问题来代指可
分割物品的公平分配问题。该问题涉及一种异质资源，如带有不同配料的蛋糕，假定这种资源是可分割的：可以任意切成小块而不破坏其价值。该资源必须在所有参与者之间进行分配，这些参与者对蛋糕的不同部分有不同的偏好：例如，有些人喜欢巧克力配料，有些人喜欢樱桃，有些人只想要尽可能大的一块。分配应该是一致公平的：每个参与者都应该得到他或她认为公平的一份。我们用𝑉𝑖(𝐴)( [0, 1] →
𝑅)代表第𝑖个参与人对于 A 的估值。每位参与者的估值函数是不同
的，但每位参与者的估值函数都满足以下性质：可加性：𝑉𝑖 (𝑋) + 𝑉𝑖 (𝑌) = 𝑉𝑖 (𝑋 ∪ 𝑌)。标准性：𝑉𝑖 ([0, 1]) = 1。
可分性：∀𝜆 ∈ [0, 1] and 𝑋, ∃𝑌 ⊆ 𝑋 𝑠. 𝑡. 𝑉𝑖(𝑌) = 𝜆𝑉𝑖(𝑋) 。
定义 2（不可分割物品的分配）在不可分割物品的分配中，我们将由 m 个不可分割的物品组成的集合𝑀 = {1, 2, 3, ⋯ , 𝑚 }分配给
n 个参与者𝑁 = {1, 2, 3, ⋯ , 𝑛}。分配由 n 个 M 的子集表示𝐴 = (𝐴1, ⋯ , 𝐴𝑛)。每位参与者得到一个子集。𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ for all 𝑖 ≠
𝑗 𝑎𝑛𝑑 ∪𝑖 ∈ 𝑁 𝐴𝑖 = 𝑀。如果 ∪𝑖 ∈ 𝑁 𝐴𝑖 ≠ 𝑀，则得到的是一个
部分分配。每一位参与者都有一个估值函数𝑉𝑖：2𝑀 → 𝑅。不同参与者的估值函数不同。
除了按照物品是否可以分割区分以外，还可以按照被分割的物品是否是同质的来进行区分，例如，钱是同质的，我们只关心数量的不同；蛋糕是异质的，因为我们对蛋糕的不同部分可能会有不同喜好。此外，根据参与者对被分配的物品的喜恶也可区分，例如，货物（参与者都希望得到）和家务（参与者都不希望得到）。在本章节中我们主要介绍的是异质的，参与者都喜好的物品的分配。