8.3 量子吉布斯采样
量子吉布斯采样是一种在量子系统中进行采样的一种方法，在量子机器学习、量子模拟、量子优化和量子化学等领域中发挥重要作用。
首先介绍一下什么是吉布斯采样。在经典计算中，吉布斯采样是 一种马尔可夫链蒙特卡洛方法，用于从复杂的概率分布中进行采样[36]。主要思想是根据条件概率，逐步更新每个变量的取值，从而通过迭代 过程生成样本。举一个简单的例子，比如说我们想要从一个约束可满 足问题中根据某个目标分布随机地采样出一个可行解，我们可以从任 意一个可行解出发，通过以下的迭代过程来实现：每次先均匀随机地 选择其中一个变量，然后把其他变量的值固定下来，根据条件概率分 布重新采样这个变量的值，得到一个新的可行解，迭代足够多步之后，我们就得到了目标概率分布的一个样本。有的时候直接从全局的目标 概率分布中采样是困难的，而从局部的条件概率中采样是可以高效实 现的，这时吉布斯采样就是一个行之有效的办法。
现在，将这个概念推广到量子系统中，引入量子吉布斯采样。与经典计算不同的是，量子吉布斯采样依赖于一种特殊的量子态：吉布斯态。吉布斯态是根据系统的能量和温度等参数计算出来的量子态，
它包含了系统的统计性质。具体而言，对于一个量子系统，其吉布斯态可以通过以下密度矩阵的形式表示：
𝜌 = e−𝛽𝐻/𝑍
其中，𝛽是系统的热力学逆温度，𝐻是系统的哈密顿量，𝑍是归一化常数，通常被称为配分函数。量子吉布斯态的重要性在于，它提供了描述量子系统平衡性质的工具，可以通过对吉布斯态的分析来研究热力学性质、相变等现象。量子吉布斯采样通过对量子系统进行一系列的测量和运算，对系统的不同部分进行观测，并根据得到的测量结果来推断样本的状态。具体而言，假设𝐻具有本征值𝐸𝑖以及它所对应的本征向量|𝜑𝑖⟩，那么𝜌是一个混合态，相当于是以概率e−𝛽𝐸𝑖/𝑍取到纯态|𝜑𝑖⟩⟨𝜑𝑖|，而量子吉布斯采样的目标正是在这样的概率空间中进行采样。
量子吉布斯采样有着广泛的应用：
（1）量子机器学习[33, 34, 37-42]：量子吉布斯采样可以帮助估计基于量子数据的概率模型的参数，从而实现量子数据的分类、生成和预测等任务。例如可以用于强化学习[41]，或者层析成像。
（2）量子模拟[43-46]：量子吉布斯采样天然可以用于模拟复杂的量子系统和量子动力学过程。通过从目标系统的吉布斯态中采样，可以获得与原始系统相似的样本，用于研究和模拟量子相关的现象和行为。
（3）量子优化：量子优化是利用量子计算的能力解决优化问题的领域。通过从量子系统的吉布斯态中采样，可以获得有关能量和优化路径的信息，帮助寻找量子系统的能量最小值以及其他全局优化问题的解。例如可以通过量子吉布斯采样来解决半正定规划问题[47-49]。
（4）量子化学[50]：量子吉布斯采样可以用于模拟和研究量子化学体系的性质。它可以通过从目标系统的吉布斯态中采样，获得关于量子化学反应和能量表面的信息，用于优化材料设计、分子动力学等
应用。
一般而言，量子吉布斯采样是个比较困难的任务。我们知道，哈密顿量的维数是量子比特数量的指数大小，平凡的算法同样需要指数时间。有很多文章分析了量子吉布斯采样的时间复杂度。2010 年之前，[51,52]等文章提出了亚指数时间的算法。2016 年，Kastoryano 和 Brandão 提出了一种分析吉布斯态的相关性的框架，定义了强聚集
（Strong Clustering）概念，证明了满足强聚集的吉布斯态可以用量子计算机在多项式时间内采样[44]。他们还介绍了两种吉布斯采样器： Davies 采样器和热浴采样器（Heat-Bath Generator）。但是，只有当目标哈密顿量可以被分解成若干个局部且可交换的哈密顿量之和时，他们的结论才适用。2019 年，他们在原框架的基础上，将他们的结论推广到了某种反映物理上合理假设的情形，不再要求哈密顿量可以被分解成可交换的项[43]。2020 年，Brandão 等人提出了在高温条件下（𝛽很小）的次多项式时间算法，而低温环境下的高效算法仍然是未解之谜。
值得一提的是，还有一种吉布斯态的采样方法，与之前所讨论的有所不同，称为量子梅特罗波利斯算法[53]。同样地，该算法也是从经典情形推广而来。经典梅特罗波利斯算法也是马尔可夫链蒙特卡洛方法，用于从复杂的概率分布中进行采样，与经典吉布斯采样不同的地方在于，每一次迭代中状态的更新并不依赖于条件概率，而是根据一个事先选好的概率分布（比如正态分布或者均匀分布）选择一个候选的新状态，以一定的概率接受候选状态并转移到新状态。
如果尝试把上述方法推广到量子情形，用于吉布斯态的采样，我们会发现这是困难的，主要的障碍来自于以下几个方面：
（1）我们并不知道哈密顿量的本征向量是什么；
（2）由于不可克隆定理，我们无法复制中间状态，而一旦我们在迭代中决定拒绝候选状态，需要回溯到原来的状态。
2011 年，Temme 等人克服了这些障碍并提出了量子梅特罗波利斯算法。为了克服第一个障碍，他们使用了相位估计算法，把哈密顿量的本征向量和本征值捆绑在一起，通过本征值的转移来实现本征向量的转移，而本征值是已知的（对应物理系统的能量）。为了克服第二个障碍，他们精心设计了量子测量，获得尽量少的信息（只需要一个比特的信息，即接受还是拒绝候选状态），这样对测量前的量子态只有一个微小的扰动，使得回溯到原状态成为可能。而且他们证明了，如果以exp (𝛽(𝐸old − 𝐸𝑛𝑒𝑤))的概率接受候选状态（其中𝐸old和𝐸𝑛𝑒𝑤 分别是原状态和候选状态的本征值，如果𝐸old > 𝐸𝑛𝑒𝑤即以概率 1 接受候选状态），那么马尔科夫链的稳态就是我们需要采样的吉布斯态。