9.10 层谱抽象
层谱抽象是一个算子或操作，从而是一个策略，并作用于一个复杂对象，以揭示该复杂对象在每个抽象层谱的功能模块或语义模块。
例如一个DNA序列的层谱抽象可以揭示DNA的各个抽象层谱的 拓扑结构域，使得一个拓扑结构域实际上对应于一个有生命科学意义 的功能模块。一个人的层谱抽象揭示了人的各个抽象层谱的生物器官，例如头、四肢和躯干等。
层谱抽象这个策略作用的对象一定是：
（1）很多更小对象构成的复杂系统；
（2）该对象作为一个载体是一个现实世界的对象，有其自身的语法、语义与运动性；
（3）该对象本身不能任务分割。
信息世界的对象都满足以上性质，特别地，生命体都满足以上性质。
然而，层谱抽象的数学模型是什么？
最一般的情况下，我们把层谱抽象这一概念定义在有限集合上。
定义 9.16（层谱抽象）给定一个非空有限集 𝑉，集合 𝑉 的一个层谱抽象是一个如下定义的有根树 𝑇：
（1）𝑇 的根节点是空串，记为𝜆 = ∅，定义与根节点 𝜆 联系的标签为 𝑇𝜆 = 𝑉，即根节点的标签是整个有限集 𝑉；
（2）对于 𝑇 中任何一个节点 𝛼，假设 𝛼 的标签是 𝑇𝛼，那么
𝛼 的立即后继， 即子节点 𝛽0 = 𝛼^⟨0⟩, 𝛽1 = 𝛼^⟨1⟩, ⋯ , 𝛽𝑙 =
𝛼^⟨𝑙⟩，对某一个自然数 𝑙，使得对 𝑖 < 𝑗，𝛽𝑖 <𝐿 𝛽𝑗，即 𝛽𝑖 在
𝛽𝑗 左边。
^
令 𝑇𝛽𝑖 是 与 𝛽𝑖 = 𝛼 ⟨𝑖⟩ 相 联 系 的 标 签 ， 那 么
{𝑇𝛽0 , 𝑇𝛽1 , ⋯ , 𝑇𝛽𝑙} 恰是 𝑇𝛼 的一个集合划分。
（3）对 𝑇 的每一个叶子节点 𝛾 ∈ 𝑇，𝛾 的标签 𝑇𝛾 是一个单点集，即 𝑇𝛾 = {𝑣} 对某一个元素 𝑣 ∈ 𝑉。
定义 9.17（编码）给定非空有限集 𝑉 和 𝑉 的一个编码树 𝑇，
（1）对每一个 𝛼 ∈ 𝑇，令 𝑋 = 𝑇𝛼，则我们称 𝛼 是 𝑋 的码字，称𝑋 是 𝛼 的标签；
（2）对于每一个 𝑇 的叶子节点 𝛾 ∈ 𝑇，如果 𝑇𝛾 = {𝑣}，则称 𝛾
是𝑣 的码字，𝑣 是 𝛾 的标签。
因此，一个有限集的编码树给集合中每一个元素定义了一个码字。编码树就是一个树编码。
给定非空有限集 𝑉 及 𝑉 的一个编码树 𝑇，则有如下性质：
（1）对于每一个 𝛼 ∈ 𝑇，𝛼 的标签 𝑇𝛼 可以视为 𝑉 的一个功能模块；
（2）对于每一个 𝛼 ∈ 𝑇，在树 𝑇 中从根节点 𝜆 到 𝛼 的路径就是从 𝑉 到模块 𝑇𝛼 的一个推演；
（3）对于每一个 𝛼 ∈ 𝑇，在树 𝑇 中从 𝛼 到根节点 𝜆 的路径就是从模块 𝑇𝛼 到 𝑉 的一个层谱抽象；
（4）特别地对于叶子节点 γ，如果 𝑇𝛾 = {𝑣}，那么从根节点 𝜆
到 𝛾 的路径就是从 𝑉 到 𝑣 的一个推演；
（5）在树 𝑇 上从 𝛾 到 𝜆 的路径就是元素 𝑣 的一个层谱抽象；
（6）很显然，𝑇 中每一个叶子节点是 𝑉 中某个元素的码字，而且 𝑉 中每一个元素在 𝑇 的叶子中存在唯一的一个码字。
编码树 𝑇 的最大优越性是：
（i）当我们知道 𝛼 ∈ 𝑇 时，同时意味着我们知道从 𝛼 到根节点
𝜆 这条路径；
（ii）假设 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑇，且 𝛿 = 𝛼 ∧ 𝛽 是 𝛼 和 𝛽 在树 𝑇 上分叉的节点，这时当我们知道 𝛼 时，我们就已经知道 𝛽 的从 𝛿 到 𝜆之间的路径， 在这种情况下，要确定 𝛽，只需确定从 𝛿 到 𝛽 的路径。
因此，我们有：
（1）一个非空有限集 𝑉 的编码树就是 𝑉 的一个层谱抽象；
（2）层谱抽象这个策略是可以数学地定义的；
（3）编码树是一个无损编码；
（4）编码树是层谱抽象的数学模型；
（5）编码树是层谱抽象的数据结构。
层谱抽象是信息科学的科学范式，是人工智能信息科学原理的认知模型与方法；层谱抽象还将是未来科学的新范式和认知模型。