9.9 抽象
抽象是人认识世界的基本策略，是一个动作或操作。然而抽象作为一个基本策略的数学实质是什么？
抽象一定是作用在一个具体的已知对象上的，提取该对象的一个数学属性。
定义 9.15（抽象）给定一个对象 𝑥，该对象的一个抽象就是一个策略，作用于 𝑥，提取对象 𝑥 的一个数学属性 𝑓，使得有很多对象
𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛 等都具有属性 𝑓。
在这个定义中：
（1）对象 𝑥 是具体的；
（2）𝑓 是 𝑥 的一个数学属性，因此 𝑓 是一个创造的新对象；
（3）抽象的实质在于 𝑓 同时还是许多其它对象 𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛 的数学属性。
在提取数学属性 𝑓 时，𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛 可能已经观察到，也可能尚未观察到。
如果 𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛 已经观察到，这时 𝑥 的抽象就是找 𝑥 和
𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛 的共性。
（4）衡量从 𝑥 抽象出 𝑓 的质量的标准是：{𝑥, 𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛} 这些对象构成的系统是否包含大量信息。
因此，在从 𝑥 抽象出 𝑓 时，如果 𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛 没有被观察到，那么从 𝑥 抽象出 𝑓 的意义还无法体现。
（5）一个好的抽象是从 𝑥 抽象出 𝑓，后来又观察到还有大量对象𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛 都同时具有属性 𝑓，而且 {𝑥, 𝑦1, 𝑦2, ⋯ , 𝑦𝑛} 这些对象形成一个复杂的系统，在其中嵌入了大量的信息。
（6）抽象这个概念已经隐含着创造这一策略。因为当观察到 𝑥
时，𝑓 可能还是一个不存在的对象，因而 𝑓 是创造的结果。
抽象实际上是人先天所具有的能力，即先验能力。当一个小孩第一次看到猫的时候，他/她一定是在脑子里抽象了一个对象，这个对象
不是实物的猫，但它非常准确地表示了猫。正因如此，以后每当再次看到猫时，小孩马上说，我见过，我知道，这是猫。能做到这一点的唯一原因就是当小孩第一次看到猫的时候，他/她已经抽象出一个对象，且非常准确，而且表示了实物的猫。因此，抽象是人与生俱来所具有的能力。