10.4 在一个层谱抽象策略下的结构熵
层谱抽象的数学模型就是编码树,因此一个编码树就是一个层谱抽象策略。
𝐴𝑛×𝑛 = (𝑎𝑥𝑦),假设 𝑇 是 𝐴 的一个编码树,定义信息系统 𝐴 在层谱抽象策略 𝑇 ,即编码树 𝑇 下的结构熵为:
ℋ𝑇(𝐴) = − ∑ 𝑝𝛼
𝛼∈𝑇
𝛼≠𝜆
log2
𝑉𝛼
𝑉𝛼−
= − ∫ 𝑝𝛼
𝑇
log2
𝑉𝛼 ,
𝑉𝛼−
这里 𝑝𝛼 = 𝑝𝑇𝛼
,𝑉𝛼 = 𝑉𝑇𝛼
,𝛼− 为 𝛼 在 𝑇 上的父节点,𝑇𝛼 为 𝛼 的
理解定义 10.6 中的 ℋ𝑇(𝐴) 如下:
(1)ℋ𝑇(𝐴) 是在编码树 𝑇 下信息系统 𝐴 的不确定性;
(2)对每一个 𝛼 ∈ 𝑇,−𝑝𝛼
log
𝑉𝛼 2 𝑉𝛼−
是模块 𝜶 , 即 𝑇𝛼
,的不
确定性;
(3)在编码树 𝑇 下信息系统 𝐴 的不确定性,即 ℋ𝑇(𝐴) 显示地分布在树 𝑇 的节点上,ℋ𝑇(𝐴) 是在编码树 𝑇 上的一个积分。
(熵是一个不确定性的量,是一个抽象的量,然而,结构熵这个量是显示地分布在编码树的节点上的,在其中,每一个节点对应的模块有多少不确定性显示地给出,为建立在编码树上,基于熵的推理奠定了基础。)