10.9 压缩/解码原理
定理 10.2（压缩/解码原理）对任意不可约非负矩阵 𝐴：
（1）对 𝐴 的任何一个编码树 𝑇，有
𝒞𝑇(𝐴) = ℋ1(𝐴) − ℋ𝑇(𝐴) = 𝒟𝑇(𝐴).
（2）对 𝐴，有
𝒞(𝐴) = ℋ1(𝐴) − ℋ(𝐴) = 𝒟(𝐴).
（3）对任何 𝑘 ≥ 2，
𝒞𝑘(𝐴) = ℋ1(𝐴) − ℋ𝑘(𝐴) = 𝒟𝑘(𝐴).
（4）对 𝐴 的任何编码树类型 𝒯
𝒞 𝒯(𝐴) = ℋ1(𝐴) − ℋ𝒯(𝐴) = 𝒟𝒯(𝐴).
压缩/解码信息原理揭示了，对任何不可约非负矩阵 𝐴 及 𝐴 的编码树 𝑇，𝑇 从 𝐴 中的解码信息 𝒟𝑇(𝐴) 和 𝑇 对 𝐴 的压缩信息一样，即
𝒟𝑇(𝐴) = 𝒞𝑇(𝐴).
因此，对任何𝛼 ∈ 𝑇，−𝑞𝛼
log
𝑉𝛼 2 𝑉𝛼−
是模块 𝛼 的压缩信息，它也
可以理解为模块 𝛼 消除的 𝐴 中的不确定性。直观地说：
（1）压缩信息就是解码信息；
（2）压缩了多少信息也就是消除了多少不确定性，等价地，消除的不确定性就是压缩的信息；
（3）由于压缩信息是显示地分布在编码树 𝑇 上的，所以解码信息也是显示地分布在编码树 𝑇 上的；
（4）编码树 𝑇 不仅有解码功能，即消除嵌入在 𝐴 中的不确定性，而且 𝑇 消除的嵌入在 𝐴 中的不确定性显示地分布在编码树 𝑇的节点上；
（5）结构熵 ℋ𝑇(𝐴) 显示地分布在编码树的节点上，同样地，解码信息𝒟𝑇(𝐴) 也显示地分布在编码树 𝑇 的节点上。
编码树 𝑇 的以上性质为信息演算，即基于编码树的推理理论，奠定了基础。