10.12 层谱抽象
给定不可约非负矩阵 𝐴，令 𝑉 = {1,2, ⋯ , 𝑛} 是 𝐴 的行指标构成的集合，假设 𝜋𝑇 = (𝜋1, 𝜋2, ⋯ , 𝜋𝑛) 是 𝐴 的稳定分布。
对 𝑥 ∈ 𝑉，𝑥 的一个层谱抽象是一个 𝑉 的子集序列 𝑋1 ⊂ 𝑋2 ⊂
⋯ ⊂ 𝑋𝑙，满足：
（1）𝑋1 = {𝑥},
（2）𝑋𝑙 = 𝑉.
定义 10.15（层谱抽象的结构熵）给定 𝑥 的层谱抽象 𝒳: 𝑋1 ⊂
𝑋2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑋𝑙，定义该层谱抽象的结构熵为：
𝑙−1
ℋ(𝒳) = − ∑ 𝑝𝑋𝑖
𝑖=1
log 𝑉𝑋𝑖 .
𝑉𝑋𝑖+1
定义 10.16（个体结构熵）给定 𝑥 ∈ 𝑉，定义 𝒙 的结构熵为;
ℋ(𝑥) = min{ℋ(𝒳)},
𝒳
这里 𝒳 取遍 𝑥 的所有层谱抽象。
个体 𝑥 ∈ 𝑉 的结构熵度量了个体 𝑥 在系统 𝐴 中的不确定性。定义 10.17（层谱抽象解码信息）给定 𝑥 ∈ 𝑉，假设 𝒳: 𝑋1 ⊂ 𝑋2 ⊂
⋯ ⊂ 𝑋𝑙 = 𝑉 是 𝑥 的的一个层谱抽象，定义层谱抽象 𝓧 的解码信息
为
𝑙−1
𝒟(𝒳) = − ∑ 𝑞𝑋𝑖
𝑖=1
log 𝑉𝑋𝑖 .
𝑉𝑋𝑖+1
定义 10.18（个体层谱抽象解码信息）给定 𝑥 ∈ 𝑉，定义 𝒙 在系统 𝑨 中的解码信息为：
𝒟(𝑥) = max{𝒟(𝒳)},
𝒳
这里 𝒳 取遍 𝑥 的所有层谱抽象。
𝒟(𝑥) 度量了 𝑥 在系统 𝐴 中的解码信息。