11.3 学习的数学定义
学习的对象千差万别，学习的方法各式各样、五花八门。学习对象和学习方法是发散的。
然而学习的数学实质是收敛的。
（1）学习的基本模块是：
①回答问题，等价地，解码策略，实现解码信息；
②提出问题，等价地，生成策略，实现生成信息；
（2）一个学习过程就是一系列的解码策略和生成策略构成的结构。
一个学习过程由一系列基本模块构成，每个基本模块或者是回答问题，即解码信息，或者是提出问题，即生成信息。
不管我们的学习对象是数学、物理、化学、文学、计算机或生物等，我们都是在做一系列的提出问题，即生成信息，或者回答问题，即解码信息。
不管我们的学习方法是学校教育、自学、模仿学习、归纳学习等，对于一个学习者，无非就是在做一系列的回答问题，即解码信息，或者是提出问题，即生成信息。
因此，学习的数学实质收敛到解码信息，或者生成信息两个基本操作。信息这一科学概念提供了理解学习这一复杂概念的数学实质的钥匙。
注解：回顾计算概念的定义，Hilbert 1900 年的计划实质上是问形式化推理是否可以证明一切数学定理。数理逻辑建立了形式化逻辑推理的数学理论，证明了存在语义上真的数学命题没有形式化的语法
证明。
在 Hilbert 的问题中，形式化证明的实质和计算是一样的。
Turing 理解到了“计算”这个概念的实质是机械性，即每一个动作都是机器可执行的。而机械性的实质是左移一格或者右移一格。因此，Turing 机的每一步就是简单地改一个符号、改一个状态、左移或者右移一格。
Turing 的贡献在于证明任何一个计算可以归结为 Turing 计算，即如果是个计算，就可以用 Turing 机，一系列的改符号、改状态，左移或右移一格来实现。
进一步 Turing 构造了通用 Turing 机，可以机械地计算一切计算问题。
然而 Turing 的工作并没有对理解计算问题的实质提供帮助，没有告诉我们有些什么计算方法和计算策略。Turing 机、通用 Turing 机就是提供了一个计算的范式，这个范式就是后来电子计算机的数学模型。
学习的数学实质是生成信息与解码信息，这就类比于计算的数学实质是左移或右移一格这一机械性原则。
学习的数学实质为建立学习的数学理论指明了方向。