1.2 人工智能的数理逻辑原理
Hilbert 1900 年提出 Hilbert 计划的时代背景是第三次数学危机，人们突然发现或意识到数学并没有建立在一个可靠的基础之上。原因在于数学中最通常的概念“证明”和“推理”并没有一个数学定义。
Hilbert 计划的目的与动机是为数学建立一个可靠的基础。
数理逻辑建立了逻辑推理的规则，给出了基于逻辑推理的证明的数学定义，从而建立了逻辑推理系统，作为公理化数学的公共基础，建立了数学的基础。
数理逻辑第一次把“逻辑推理”这一人的推理方法用数学规则来实现了，从而把曾经认为的只有人才能做的“逻辑推理”用数学规则实现了。
数学规则显然可以由算法来实现，因此逻辑推理可以由算法来实现。这就意味着算法可以实现人的逻辑推理。这就是人工智能的数理逻辑原理。
数理逻辑还建立了后来的计算机科学三大支柱之一的计算机程序理论的数学原理。
（程序理论、计算理论和体系结构原理正是计算机科学的三大支柱理论，支撑着整个计算机科学大厦。）
基于逻辑推理的定理机器证明正是第一代人工智能的典型代表。数理逻辑，特别命题逻辑中的一些基本问题还提供了新的算法问
题，及研究算法复杂性的经典问题，例如第一个NP完全性问题，SAT问题。
数理逻辑系统的分析方法，即系统的完备性（completeness）和可靠性（soundness），还提供了计算机程序分析的一般方法。
扩充或变种的各种应用逻辑，比如非单调逻辑提供了基于逻辑推理的常识推理，成为第一代人工智能的重要组成部分。
数理逻辑揭示了一个逻辑推理有一个语法（syntax）和一个语义
（semantic），语法指按规则的推理过程，语义指该推理过程的数学意义，即真、假值。一个正确的推理必然要求语法和语义的一致性。
推理的可靠性（soundness）要求符合推理规则的推理结果是正确的（即，真的），推理的完备性（completeness）要求真的一定能按推
理规则证明，即推出来。
一个逻辑系统的基本要求是可靠性，即推出来的结论一定是正确的（或真的）。基本的逻辑系统同时还要求满足完备性。然而在一个适当复杂的数学系统，例如算术系统中，存在一个命题𝐴，使得𝐴和𝐴的否定 ¬𝐴，均不可证明。
然而𝐴和 A 的否定 ¬𝐴 必然有一个是真的。因此，存在真的命题，它不可证明。这就是Godel 不完全性定理所揭示的结论。
在Godel 不完全性定理中，是否“可证”是语法问题，真或者假是语义问题。不完全性定理的实质是：语法和语义的不一致性，即，一个适当复杂的数学系统必然有：语法和语义的不一致性。这里面的一个根本问题是仅仅基于逻辑推理的证明的概念是不充分的（第十五章将把这个问题作为信息时代的重大科学问题之一提出）。
基于数理逻辑的人工智能是人工智能的一个重要方向，即符号主义人工智能，其使命是揭示，逻辑推理在人工智能中的作用与极限。