练习⚓︎

\(\exists \quad\) 题⚓︎

(a) \(B_{1}=\left\{A_{1}, \cdots, A_{5}\right.\) 中至名发生 2 个 \(\}\)

(b) \(B_{2}=\left\{A_{1}, \cdots, A_{5}\right.\) 中至少发生 2 个 \(\}\)

(a) \(A+B=A+(B-A)\), 右边两事件互斥;

(b) \(A+B=(A-B)+(B-A)+A B\), 右边三事件互斥.

\[ \begin{aligned} P(A+B+C)= & P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(B C) \\ & -P(C A)+P(A B C) \end{aligned} \]

有没有可能两件事 \(A, B\) 又互斥又独立?
\(P(A-B)=P(A)-P(B)\) 是否必成立? 何时成立?
记 \(C=\prod_{i=1}^{m} A_{i}+\prod_{j=1}^{n} B_{j}\), 通过 \(A_{i}, B_{j}\) 及其对立事件表出 \(\bar{C}\).
如果把 \(P(A \mid B)>P(A)\) 理解为 “ \(B\) 对 \(A\) 有促进作用”, 则直观上似乎能设想如下的结论: “由 \(P(A \mid B)>P(A)\) 及 \(P(B \mid C)>P(B)\) 推出 \(P(A \mid\) \(C)>P(A)\) " (意思是: \(B\) 促进 \(A, C\) 促进 \(B\), 故 \(C\) 应促进 \(A\) ), 举一简例证明上述直观看法不对.
证明: 若 \(A, C\) 独立, \(B, C\) 也独立, 又 \(A, B\) 互斥, 则 \(A+B\) 与 \(C\) 独立.

更一般地,若 \(A, C\) 独立, \(B, C\) 独立, \(A B, C\) 也独立,则 \(A+B\) 与 \(C\) 独立. 说明: 上一结论是本结论的特例.

(接上题) 若除了“ \(A, C\) 独立, \(B, C\) 独立”之外, 别无其他条件, 则推不出 \(A+B\) 与 \(C\) 独立, 试举一反例以说明之.
若 \(A, C\) 独立, \(B, C\) 独立, \(A+B, C\) 也独立, 则 \(A B\) 与 \(C\) 独立. 但若去掉“ \(A+B, C\) 也独立”的条件, 则结论不再成立.举一反例以说明之.
办一件事件有 6 个关节, 必须: (1)第 1 个关节要走通, (2) 第 2,3 关节至少通一个,(3)第 4,5,6 关节至少通 2 个, 事情才能办成.

（a）设置必须的事件，以表出“事情办成”这个事件.

（b）若各关节独立且每关节走通的机会为 \(2 / 3\). 求事情能办成的概率. 14. 由 \(P(A \mid B)>P(A)\) 推出 \(P(B A)>P(B)\). 直观上怎样解释这个事实.

你认为, 由 \(P(A \mid B)>P(A), P(A \mid C)>P(A)\), 能否推出 \(P(A \mid B C)>\) \(P(A)\) ? 若认为能, 请证明之, 若认为不能, 请举出反例.

由 \(P(A)>P(A \mid B)\) 推出 \(P(A)<P(A \mid \bar{B})\). 指出一种可能的直观解释.
设 \(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}\) 独立, 而 \(B_{i}=A_{i}\) 或 \(\bar{A}_{i}\) (不同的 \(i\) 可以不一样,例如, \(B_{1}=A_{1}, B_{2}=\bar{A}_{2}\), 等等) \(, i=1, \cdots, n\). 试用归纳法证明: \(B_{1}, \cdots, B_{n}\) 也独立.
一个秘书打好 4 封信和相应的 4 个信封. 但她将这 4 封信随机地放入这 4 个信封中,问“每封信都放得不对位”这事件的概率是多少?
一盒内有 8 张空白券, 2 张奖券, 有甲、乙、丙三人按这个次序和以下的规则, 各从此盒中随机抽出一张. 规则如下: 每人抽出后, 所抽那张不放回但补人两张非同类券 (即: 如抽出奖券, 则放回 2 张空白券, 等等). 问甲、乙、丙中奖的概率各有多大?
某作家的全集共 \(p\) 卷, 现买来 \(n\) 套(共 \(n p\) 本), 随机地分成 \(n\) 堆, 每堆 \(p\) 本,问“每堆都组成整套全集”这事件的概率为多少.

20 . 在例 1.1 中，把胜负规则改为 “谁先胜四局者为胜”. 问在甲 2 胜 1 负的情况下中止赌博,应按怎样的比例瓜分赌本才算公平?

把例 3.1 中的事件 \(B\) 的定义改为: \(B=\) 侄少有一个骰子掷出么点了, 求该例中事件 \(A\) 的条件概率 \(P(A \mid B)\).

直观上看结果应相同,但算出的结果不同, 如何解释?

在例 2.3 中,把 “排成一列”改为 “排成一圆圈”. 证明例中所说的事件 \(A\) 的概率为 \(\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right) /\left(\begin{array}{c}n+m-1 \\ m\end{array}\right)\).
四人打桥牌, 问: “至少有一方没有 \(A\) ” 及“至少有一方恰有两个 \(A\) ” 这两个事件的概率.
有一个半径为 1 的圆周 \(C\). 甲、乙二人各自独立地从圆周上随机地取一点, 将两点连成一条弦 \(l\), 用几何概率的方法计算“圆心到 \(l\) 的距离不小于 \(1 / 2\) ”这个事件的概率.
把 8 个可以分辨的球随机地放人 7 个可以分辨的盒子中, 问 “其中有两个盒各得 2 球, 一个盒得 3 球, 一个盒得 1 球”这事件的概率是多少?
设男女两性人口之比为 \(51: 49\). 又设男人色盲率为 \(2 \%\), 女人色盲率为 \(0.25 \%\). 现随机抽到一个人为色盲, 问“该人为男人”的概率是多少?
设有 \(n\) 个独立事件 \(A_{1}, \cdots, A_{n}\), 其概率分别为 \(p_{1}, \cdots, p_{n}\), 记 \(p=\) \(p_{1}+\cdots+p_{n}\). 设 \(0<p_{i}<1, i=1, \cdots, n\). 证明:

(a) “ \(A_{1}, \cdots, A_{n}\) 都不发生”这个事件的概率小于 \(\mathrm{e}^{-p}\).

(b) “ \(A_{1}, \cdots, A_{n}\) 中至少发生 \(k\) 个”这事件的概率小于 \(p^{k} / k\) !

\[ \begin{aligned} & A=\text { 至少有 } 2 \text { 粒骰子出么点 } \\ & B=\text { 玜少有 } 1 \text { 粒骰子出么点 }\} \end{aligned} \]

求条件概率 \(P(A \mid B)\).

这个题可不可以这样算:既然已知至少掷出一个么点,不妨 (因各骰子地位对称) 就设第一粒勖子摸出么点. 因而所求的条件概率为: 掷 9 粒骰子至少出现一个么的概率, 即 \(1-(5 / 6)^{9}\). 为什么?

假定某种病菌在全人口的带菌率为 \(10 \%\), 又在检测时, 带菌者呈阳、阴性反应的概率为 0.95 和 0.05 , 而不带菌者呈阳、阴性反应的概率则为 0.01 和 0.99 .今某人独立地检测三次, 发现 2 次呈阳性反应, 1 次呈阴性反应. 问: “该人为带菌者”的概率是多少?
甲、乙二人约定了这样一个赌博规则: 有无穷个盒子, 编号为 \(n\) 的盒子中, 有 \(n\) 红球 1 白球, \(n=1,2, \cdots\), 然后甲拿一个均匀铜板撺到出现正面为止. 若到这时甲㐨了 \(n\) 次, 则甲在编号为 \(n\) 的盒子中抽出一个球, 如抽到白球算甲胜,否则乙胜. 你认为这规则对准更有利?