练习⚓︎
题⚓︎
- 有 5 个事件,
. 用它们表示以下的事件:
(a)
(b)
- 证明: 若
为两事件, 则
(a)
(b)
?- 把
个任意事件 之和表为 个互斥事件之和. - 通过把
表为适当的互斥事件之和, 以证明
- 有没有可能两件事
又互斥又独立? 是否必成立? 何时成立?- 记
, 通过 及其对立事件表出 . - 如果把
理解为 “ 对 有促进作用”, 则直观上似 乎能设想如下的结论: “由 及 推出 " (意思是: 促进 促进 , 故 应促进 ), 举一简例证明上 述直观看法不对. - 证明: 若
独立, 也独立, 又 互斥, 则 与 独 立.
更一般地,若
- (接上题) 若除了“
独立, 独立”之外, 别无其他条件, 则推 不出 与 独立, 试举一反例以说明之. - 若
独立, 独立, 也独立, 则 与 独立. 但若 去掉“ 也独立”的条件, 则结论不再成立.举一反例以说明之. - 办一件事件有 6 个关节, 必须: (1)第 1 个关节要走通, (2) 第 2,3 关节 至少通一个,(3)第 4,5,6 关节至少通 2 个, 事情才能办成.
(a)设置必须的事件,以表出“事情办成”这个事件.
(b)若各关节独立且每关节走通的机会为
你认为, 由
- 由
推出 . 指出一种可能的直观 解释. - 设
独立, 而 或 (不同的 可以不一样,例 如, , 等等) . 试用归纳法证明: 也独 立. - 一个秘书打好 4 封信和相应的 4 个信封. 但她将这 4 封信随机地放 入这 4 个信封中,问“每封信都放得不对位”这事件的概率是多少?
- 一盒内有 8 张空白券, 2 张奖券, 有甲、乙、丙三人按这个次序和以下 的规则, 各从此盒中随机抽出一张. 规则如下: 每人抽出后, 所抽那张不放回 但补人两张非同类券 (即: 如抽出奖券, 则放回 2 张空白券, 等等). 问甲、乙、 丙中奖的概率各有多大?
- 某作家的全集共
卷, 现买来 套(共 本), 随机地分成 堆, 每 堆 本,问“每堆都组成整套全集”这事件的概率为多少.
20 . 在例 1.1 中,把胜负规则改为 “谁先胜四局者为胜”. 问在甲 2 胜 1 负 的情况下中止赌博,应按怎样的比例瓜分赌本才算公平?
- 把例 3.1 中的事件
的定义改为: 侄少有一个骰子掷出么 点了, 求该例中事件 的条件概率 .
直观上看结果应相同,但算出的结果不同, 如何解释?
- 在例 2.3 中,把 “排成一列”改为 “排成一圆圈”. 证明例中所说的事 件
的概率为 . - 四人打桥牌, 问: “至少有一方没有
” 及“至少有一方恰有两个 ” 这两个事件的概率. - 有一个半径为 1 的圆周
. 甲、乙二人各自独立地从圆周上随机地 取一点, 将两点连成一条弦 , 用几何概率的方法计算“圆心到 的距离不小 于 ”这个事件的概率. - 把 8 个可以分辨的球随机地放人 7 个可以分辨的盒子中, 问 “其中 有两个盒各得 2 球, 一个盒得 3 球, 一个盒得 1 球”这事件的概率是多少?
- 设男女两性人口之比为
. 又设男人色盲率为 , 女人色盲率 为 . 现随机抽到一个人为色盲, 问“该人为男人”的概率是多少? - 设有
个独立事件 , 其概率分别为 , 记 . 设 . 证明:
(a) “
(b) “
- 投瓶 10 粒均匀骰子, 记事件
求条件概率
这个题可不可以这样算:既然已知至少掷出一个么点,不妨 (因各骰子地 位对称) 就设第一粒勖子摸出么点. 因而所求的条件概率为: 掷 9 粒骰子至少 出现一个么的概率, 即
- 假定某种病菌在全人口的带菌率为
, 又在检测时, 带菌者呈阳、 阴性反应的概率为 0.95 和 0.05 , 而不带菌者呈阳、阴性反应的概率则为 0.01 和 0.99 .今某人独立地检测三次, 发现 2 次呈阳性反应, 1 次呈阴性反 应. 问: “该人为带菌者”的概率是多少? - 甲、乙二人约定了这样一个赌博规则: 有无穷个盒子, 编号为
的盒 子中, 有 红球 1 白球, , 然后甲拿一个均匀铜板撺到出现正面为 止. 若到这时甲㐨了 次, 则甲在编号为 的盒子中抽出一个球, 如抽到白 球算甲胜,否则乙胜. 你认为这规则对准更有利?
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