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练习⚓︎

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  1. 有 5 个事件, A1,,A5. 用它们表示以下的事件:

(a) B1={A1,,A5 中至名发生 2 个 }

(b) B2={A1,,A5 中至少发生 2 个 }

  1. 证明: 若 A,B 为两事件, 则

(a) A+B=A+(BA), 右边两事件互斥;

(b) A+B=(AB)+(BA)+AB, 右边三事件互斥.

  1. (A+B)(AB)= ?
  2. n 个任意事件 A1,,An 之和表为 n 个互斥事件之和.
  3. 通过把 A+B+C 表为适当的互斥事件之和, 以证明
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(CA)+P(ABC)
  1. 有没有可能两件事 A,B 又互斥又独立?
  2. P(AB)=P(A)P(B) 是否必成立? 何时成立?
  3. C=i=1mAi+j=1nBj, 通过 Ai,Bj 及其对立事件表出 C¯.
  4. 如果把 P(AB)>P(A) 理解为 “ BA 有促进作用”, 则直观上似 乎能设想如下的结论: “由 P(AB)>P(A)P(BC)>P(B) 推出 P(A C)>P(A) " (意思是: B 促进 A,C 促进 B, 故 C 应促进 A ), 举一简例证明上 述直观看法不对.
  5. 证明: 若 A,C 独立, B,C 也独立, 又 A,B 互斥, 则 A+BC 独 立.

更一般地,若 A,C 独立, B,C 独立, AB,C 也独立,则 A+BC 独立. 说明: 上一结论是本结论的特例.

  1. (接上题) 若除了“ A,C 独立, B,C 独立”之外, 别无其他条件, 则推 不出 A+BC 独立, 试举一反例以说明之.
  2. A,C 独立, B,C 独立, A+B,C 也独立, 则 ABC 独立. 但若 去掉“ A+B,C 也独立”的条件, 则结论不再成立.举一反例以说明之.
  3. 办一件事件有 6 个关节, 必须: (1)第 1 个关节要走通, (2) 第 2,3 关节 至少通一个,(3)第 4,5,6 关节至少通 2 个, 事情才能办成.

(a)设置必须的事件,以表出“事情办成”这个事件.

(b)若各关节独立且每关节走通的机会为 2/3. 求事情能办成的概率. 14. 由 P(AB)>P(A) 推出 P(BA)>P(B). 直观上怎样解释这个事 实.

你认为, 由 P(AB)>P(A),P(AC)>P(A), 能否推出 P(ABC)> P(A) ? 若认为能, 请证明之, 若认为不能, 请举出反例.

  1. P(A)>P(AB) 推出 P(A)<P(AB¯). 指出一种可能的直观 解释.
  2. A1,A2,,An 独立, 而 Bi=AiA¯i (不同的 i 可以不一样,例 如, B1=A1,B2=A¯2, 等等) ,i=1,,n. 试用归纳法证明: B1,,Bn 也独 立.
  3. 一个秘书打好 4 封信和相应的 4 个信封. 但她将这 4 封信随机地放 入这 4 个信封中,问“每封信都放得不对位”这事件的概率是多少?
  4. 一盒内有 8 张空白券, 2 张奖券, 有甲、乙、丙三人按这个次序和以下 的规则, 各从此盒中随机抽出一张. 规则如下: 每人抽出后, 所抽那张不放回 但补人两张非同类券 (即: 如抽出奖券, 则放回 2 张空白券, 等等). 问甲、乙、 丙中奖的概率各有多大?
  5. 某作家的全集共 p 卷, 现买来 n 套(共 np 本), 随机地分成 n 堆, 每 堆 p 本,问“每堆都组成整套全集”这事件的概率为多少.

20 . 在例 1.1 中,把胜负规则改为 “谁先胜四局者为胜”. 问在甲 2 胜 1 负 的情况下中止赌博,应按怎样的比例瓜分赌本才算公平?

  1. 把例 3.1 中的事件 B 的定义改为: B= 侄少有一个骰子掷出么 点了, 求该例中事件 A 的条件概率 P(AB).

直观上看结果应相同,但算出的结果不同, 如何解释?

  1. 在例 2.3 中,把 “排成一列”改为 “排成一圆圈”. 证明例中所说的事 件 A 的概率为 (nm)/(n+m1m).
  2. 四人打桥牌, 问: “至少有一方没有 A ” 及“至少有一方恰有两个 A ” 这两个事件的概率.
  3. 有一个半径为 1 的圆周 C. 甲、乙二人各自独立地从圆周上随机地 取一点, 将两点连成一条弦 l, 用几何概率的方法计算“圆心到 l 的距离不小 于 1/2 ”这个事件的概率.
  4. 把 8 个可以分辨的球随机地放人 7 个可以分辨的盒子中, 问 “其中 有两个盒各得 2 球, 一个盒得 3 球, 一个盒得 1 球”这事件的概率是多少?
  5. 设男女两性人口之比为 51:49. 又设男人色盲率为 2%, 女人色盲率 为 0.25%. 现随机抽到一个人为色盲, 问“该人为男人”的概率是多少?
  6. 设有 n 个独立事件 A1,,An, 其概率分别为 p1,,pn, 记 p= p1++pn. 设 0<pi<1,i=1,,n. 证明:

(a) “ A1,,An 都不发生”这个事件的概率小于 ep.

(b) “ A1,,An 中至少发生 k 个”这事件的概率小于 pk/k !

  1. 投瓶 10 粒均匀骰子, 记事件
A= 至少有 2 粒骰子出么点 B= 玜少有 1 粒骰子出么点 }

求条件概率 P(AB).

这个题可不可以这样算:既然已知至少掷出一个么点,不妨 (因各骰子地 位对称) 就设第一粒勖子摸出么点. 因而所求的条件概率为: 掷 9 粒骰子至少 出现一个么的概率, 即 1(5/6)9. 为什么?

  1. 假定某种病菌在全人口的带菌率为 10%, 又在检测时, 带菌者呈阳、 阴性反应的概率为 0.95 和 0.05 , 而不带菌者呈阳、阴性反应的概率则为 0.01 和 0.99 .今某人独立地检测三次, 发现 2 次呈阳性反应, 1 次呈阴性反 应. 问: “该人为带菌者”的概率是多少?
  2. 甲、乙二人约定了这样一个赌博规则: 有无穷个盒子, 编号为 n 的盒 子中, 有 n 红球 1 白球, n=1,2,, 然后甲拿一个均匀铜板撺到出现正面为 止. 若到这时甲㐨了 n 次, 则甲在编号为 n 的盒子中抽出一个球, 如抽到白 球算甲胜,否则乙胜. 你认为这规则对准更有利?
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