练习

$\mathrm{\exists }$ 题

1. 有 5 个事件, $A_1,\cdots ,A_5$. 用它们表示以下的事件:

(a) $B_1=\{A_1,\cdots ,A_5$ 中至名发生 2 个 $\}$

(b) $B_2=\{A_1,\cdots ,A_5$ 中至少发生 2 个 $\}$

1. 证明: 若 $A,B$ 为两事件, 则

(a) $A+B=A+(B-A)$, 右边两事件互斥;

(b) $A+B=(A-B)+(B-A)+AB$, 右边三事件互斥.

1. $(A+B)-(A-B)=$ ?
2. 把 $n$ 个任意事件 $A_1,\cdots ,A_n$ 之和表为 $n$ 个互斥事件之和.
3. 通过把 $A+B+C$ 表为适当的互斥事件之和, 以证明

$$\begin{array}{rl}P(A+B+C)=& P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)\\ & -P(CA)+P(ABC)\end{array}$$

1. 有没有可能两件事 $A,B$ 又互斥又独立?
2. $P(A-B)=P(A)-P(B)$ 是否必成立? 何时成立?
3. 记 $C=\prod _{i=1}^m{A}_i+\prod _{j=1}^n{B}_j$, 通过 $A_i,B_j$ 及其对立事件表出 $\overline{C}$.
4. 如果把 $P(A\mid B)>P(A)$ 理解为 “ $B$ 对 $A$ 有促进作用”, 则直观上似 乎能设想如下的结论: “由 $P(A\mid B)>P(A)$ 及 $P(B\mid C)>P(B)$ 推出 $P(A\mid$ $C)>P(A)$ " (意思是: $B$ 促进 $A,C$ 促进 $B$, 故 $C$ 应促进 $A$ ), 举一简例证明上 述直观看法不对.
5. 证明: 若 $A,C$ 独立, $B,C$ 也独立, 又 $A,B$ 互斥, 则 $A+B$ 与 $C$ 独 立.

更一般地,若 $A,C$ 独立, $B,C$ 独立, $AB,C$ 也独立,则 $A+B$ 与 $C$ 独立. 说明: 上一结论是本结论的特例.

1. (接上题) 若除了“ $A,C$ 独立, $B,C$ 独立”之外, 别无其他条件, 则推 不出 $A+B$ 与 $C$ 独立, 试举一反例以说明之.
2. 若 $A,C$ 独立, $B,C$ 独立, $A+B,C$ 也独立, 则 $AB$ 与 $C$ 独立. 但若 去掉“ $A+B,C$ 也独立”的条件, 则结论不再成立.举一反例以说明之.
3. 办一件事件有 6 个关节, 必须: (1)第 1 个关节要走通, (2) 第 2,3 关节 至少通一个,(3)第 4,5,6 关节至少通 2 个, 事情才能办成.

（a）设置必须的事件，以表出“事情办成”这个事件.

（b）若各关节独立且每关节走通的机会为 $2/3$. 求事情能办成的概率. 14. 由 $P(A\mid B)>P(A)$ 推出 $P(BA)>P(B)$. 直观上怎样解释这个事 实.

你认为, 由 $P(A\mid B)>P(A),P(A\mid C)>P(A)$, 能否推出 $P(A\mid BC)>$ $P(A)$ ? 若认为能, 请证明之, 若认为不能, 请举出反例.

1. 由 $P(A)>P(A\mid B)$ 推出 $P(A)<P(A\mid \overline{B})$. 指出一种可能的直观 解释.
2. 设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 独立, 而 $B_i=A_i$ 或 ${\overline{A}}_i$ (不同的 $i$ 可以不一样,例 如, $B_1=A_1,B_2={\overline{A}}_2$, 等等) $,i=1,\cdots ,n$. 试用归纳法证明: $B_1,\cdots ,B_n$ 也独 立.
3. 一个秘书打好 4 封信和相应的 4 个信封. 但她将这 4 封信随机地放 入这 4 个信封中,问“每封信都放得不对位”这事件的概率是多少?
4. 一盒内有 8 张空白券, 2 张奖券, 有甲、乙、丙三人按这个次序和以下 的规则, 各从此盒中随机抽出一张. 规则如下: 每人抽出后, 所抽那张不放回 但补人两张非同类券 (即: 如抽出奖券, 则放回 2 张空白券, 等等). 问甲、乙、 丙中奖的概率各有多大?
5. 某作家的全集共 $p$ 卷, 现买来 $n$ 套(共 $np$ 本), 随机地分成 $n$ 堆, 每 堆 $p$ 本,问“每堆都组成整套全集”这事件的概率为多少.

20 . 在例 1.1 中，把胜负规则改为 “谁先胜四局者为胜”. 问在甲 2 胜 1 负 的情况下中止赌博,应按怎样的比例瓜分赌本才算公平?

1. 把例 3.1 中的事件 $B$ 的定义改为: $B=$ 侄少有一个骰子掷出么 点了, 求该例中事件 $A$ 的条件概率 $P(A\mid B)$.

直观上看结果应相同,但算出的结果不同, 如何解释?

1. 在例 2.3 中,把 “排成一列”改为 “排成一圆圈”. 证明例中所说的事 件 $A$ 的概率为 $\left(\begin{array}{l}n\\ m\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}n+m-1\\ m\end{array}\right)$.
2. 四人打桥牌, 问: “至少有一方没有 $A$ ” 及“至少有一方恰有两个 $A$ ” 这两个事件的概率.
3. 有一个半径为 1 的圆周 $C$. 甲、乙二人各自独立地从圆周上随机地 取一点, 将两点连成一条弦 $l$, 用几何概率的方法计算“圆心到 $l$ 的距离不小 于 $1/2$ ”这个事件的概率.
4. 把 8 个可以分辨的球随机地放人 7 个可以分辨的盒子中, 问 “其中 有两个盒各得 2 球, 一个盒得 3 球, 一个盒得 1 球”这事件的概率是多少?
5. 设男女两性人口之比为 $51:49$. 又设男人色盲率为 $2\mathrm{\%}$, 女人色盲率 为 $0.25\mathrm{\%}$. 现随机抽到一个人为色盲, 问“该人为男人”的概率是多少?
6. 设有 $n$ 个独立事件 $A_1,\cdots ,A_n$, 其概率分别为 $p_1,\cdots ,p_n$, 记 $p=$ $p_1+\cdots +p_n$. 设 $0<p_i<1,i=1,\cdots ,n$. 证明:

(a) “ $A_1,\cdots ,A_n$ 都不发生”这个事件的概率小于 ${\mathrm{e}}^{-p}$.

(b) “ $A_1,\cdots ,A_n$ 中至少发生 $k$ 个”这事件的概率小于 $p^k/k$ !

1. 投瓶 10 粒均匀骰子, 记事件

$$\begin{array}{rl}& A=\text{ 至少有 }2\text{ 粒骰子出么点 }\\ & B=\text{ 玜少有 }1\text{ 粒骰子出么点 }\}\end{array}$$

求条件概率 $P(A\mid B)$.

这个题可不可以这样算:既然已知至少掷出一个么点,不妨 (因各骰子地 位对称) 就设第一粒勖子摸出么点. 因而所求的条件概率为: 掷 9 粒骰子至少 出现一个么的概率, 即 $1-(5/6{)}^9$. 为什么?

1. 假定某种病菌在全人口的带菌率为 $10\mathrm{\%}$, 又在检测时, 带菌者呈阳、 阴性反应的概率为 0.95 和 0.05 , 而不带菌者呈阳、阴性反应的概率则为 0.01 和 0.99 .今某人独立地检测三次, 发现 2 次呈阳性反应, 1 次呈阴性反 应. 问: “该人为带菌者”的概率是多少?
2. 甲、乙二人约定了这样一个赌博规则: 有无穷个盒子, 编号为 $n$ 的盒 子中, 有 $n$ 红球 1 白球, $n=1,2,\cdots$, 然后甲拿一个均匀铜板撺到出现正面为 止. 若到这时甲㐨了 $n$ 次, 则甲在编号为 $n$ 的盒子中抽出一个球, 如抽到白 球算甲胜,否则乙胜. 你认为这规则对准更有利?

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