练习⚓︎

某事件 \(A\) 在一次试验中发生的概率为 \(1 / 2\). 将试验独立地重复 \(n\) 次. 证明: “ \(A\) 发生偶数次” 的概率为 \(1 / 2\), 不论 \(n\) 如何 ( 0 算偶数).
104 . 2. 在上题中,若 \(A\) 在一次试验中发生的概率为 \(p\), 则 “ \(A\) 发生偶数次” 的概率为 \(p_{n}=\frac{1}{2}\left[1+(1-2 p)^{n}\right]\). 用归纳法.
两人分别各拿一个均匀铜板投搓 \(n\) 次 (每次搓出正、反面的概率都是 1/2). 问: “两个郑出的正面数相同” 这事件的概率是多少?
甲、乙二人赌博. 每局甲胜的概率为 \(p\), 乙胜的概率为 \(q=1-p\). 约定: 赌到有人胜满 \(a\) 局为止, 到这时即算他获胜. (a) 求甲胜的概率. (b) 若 \(p\) \(=1 / 2\), 用 (a) 的结果以及用直接推理, 证明甲胜的概率为 \(1 / 2\).
以 \(b(k ; n, p)\) 记二项分布概率 \(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}\). 证明: (a) 若 \(p \leqslant 1\) \((n+1)\), 则当 \(k\) 增加时 \(b(k ; n, p)\) 非增. (b) 若 \(p \geqslant 1-1 /(n+1)\), 则当 \(k\) 增加时 \(b(k ; n, p)\) 非降. (c) 若 \(1 /(n+1)<p<1-1 /(n+1)\), 则当 \(k\) 增加时, \(b(k ; n, p)\) 先增后降. 求使 \(b(k ; n, p)\) 达到最大的 \(k\).

6.10 个球随机地放进 12 个盒子中, 问: “空盒 (不含球的盒) 数目为 10 ” 这事件的概率是多少?

设随机变量 \(X\) 服从二项分布 \(B(n, p), k\) 为小于 \(n\) 的非负整数, 记 \(f\) \((p)=P(X \leqslant k)\).

(a) 用直观说理的方法指明: \(f(p)\) 随 \(p\) 增加而下降.

(b) 用概率方法证明 (a) 中的结果.

(c) 建立恒等式

\[ f(p)=\frac{n !}{k !(n-k-1) !} \int_{0}^{1-p} t^{k}(1-t)^{n-k-1} \mathrm{~d} t \]

从湍用分析方法证明了 (a)中之结论.

设随机变量 \(X_{1}, X_{2}\) 独立同分布,而 \(X_{1}+X_{2}\) 服从二项分布 \(B(2, p)\). 则 \(X_{1}, X_{2}\) 都服从二项分布 \(B(1, p)\) (即 \(P\left(X_{1}=1\right)=p, p\left(X_{1}=0\right)=1-p\) ), 若只假定 \(X_{1}, X_{2}\) 独立且都只取 0,1 为值,这结论也对.
在超几何分布 (1.10) 中固定 \(n, m\), 令 \(N \rightarrow \infty, M \rightarrow \infty\) 但 \(M / N \rightarrow p, 0\) \(\leqslant p \leqslant 1\). 证明: \((1.10)\) 以 \(b(m ; n, p)\) 为极限.
设随机变量 \(X\) 服从波哇松分布 \(P(\lambda) . k\) 为正整数.

(a) 用概率方法证明: \(P(X \leqslant k)\) 随 \(\lambda\) 增加而下降.

(b) 建立恒等式

\[ P(X \leqslant k)=\frac{1}{k !} \int_{\lambda}^{\infty} t^{k} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t \]

从而用分析方法证明 (a) 中之结论. 11. 记 \(p_{\lambda}(k)=\mathrm{e}^{-\lambda} \lambda^{k} / k\) ! 证明 : (a) 若 \(\lambda \leqslant 1\), 则 \(p_{\lambda}(k)\) 随 \(k\) 增加而非增. (b) 若 \(\lambda>1\), 则 \(p_{\lambda}(k)\) 先增后降，找出使 \(p_{\lambda}(k)\) 达到最大的 \(k\).

有一个大试验由两个独立的小试验构成. 在第一个小试验中, 观察某事件 \(A\) 是否发生, \(A\) 发生的概率为 \(p_{1}\); 在第二个小试验中, 观察某事件 \(B\) 是否发生, \(B\) 发生的概率为 \(p_{2}\). 故这个大试验有 4 个可能结果: \((A, B)\), \((\bar{A}, \bar{B}),(A, \bar{B}),(\bar{A}, B)\). 把这大试验重复 \(N\) 次.记

\[ \begin{aligned} & E_{1}=\{(A, \bar{B}),(\bar{A}, B) \text { 总共发生 } n \text { 次 }\} \\ & E_{2}=\{((A, \bar{B}) \text { 发生 } k \text { 次 }\} \end{aligned} \]

计算条件概率 \(P\left(E_{2} \mid E_{1}\right)\), 证明它等于 \(b(k ; n, p)\), 其中 \(p=p_{1}\left(1-p_{2}\right) /\left[p_{1}\right.\) \(\left.\left(1-p_{2}\right)+\left(1-p_{1}\right) p_{2}\right]\), 并用直接方法 (不通过按条件概率公式计算) 证明这个结果.

设 \(X_{1}, \cdots, X_{r}\) 独立同分布, 其公共分布为几何分布 (1.12). 用归纳法证明: \(X_{1}+\cdots+X_{r}\) 服从负二项分布 (1.11). 又: 对这个结果作一直观上的解释, 因而得出一简单证法.
在一串独立试验中观察某事件 \(A\) 是否发生, 每次 \(A\) 发生的概率都是 \(p\). 有以下两个概率: (1) \(p_{1}=\) 做 \(i+r\) 次试验, \(A\) 出现 \(r\) 次的概率. (2) \(p_{2}=\) 做试验直到 \(A\) 出现 \(r\) 次为止, 到此时 \(A\) 有 \(i\) 次不出现的概率.二者都是做 \(i\) \(+r\) 次而 \(A\) 出现 \(r\) 次, 但总有 \(p_{1}>p_{2}\). 证明这一事实并给一解释.
先观察一个服从波哇松分布 \(P(\lambda)\) 的随机变量之值 \(X\), 然后做 \(X\) 次独立试验, 在每次试验中某事件 \(A\) 发生的概率为 \(p\). 以 \(Y\) 记在这 \(X\) 次试验中 \(A\) 发生的次数,证明: \(Y\) 服从波哇松分布 \(P(\lambda p)\).
设随机变量 \(X, Y\) 独立, \(X\) 有概率密度 \(f(x)\), 而 \(Y\) 为离散型, 只取两个值 \(a_{1}\) 和 \(a_{2}\), 概率分别为 \(p_{1}\) 和 \(p_{2}\). 证明: \(X+Y\) 有概率密度 \(h(x)\) :

\[ h(x)=p_{1} f\left(x-a_{1}\right)+p_{2} f\left(x-a_{2}\right) \]

把这个结果推广到 \(Y\) 取任意有限个值以至无限个值 (但仍为离散型) 的情况。

设 \(X, Y\) 独立, 各有概率密度函数 \(f(x)\) 和 \(g(y)\), 且 \(X\) 只取大于 0 的值. 用以下两种方法计算 \(Z=X Y\) 的概率密度, 并证明结果一致:

(a) 利用变换 \(Z=X Y, W=X\).

(b) 把 \(X Y\) 表为 \(Y / X^{-1}\). 先算出 \(X^{-1}\) 的密度, 再用商的密度公式 \((4.29)\).

设 \(X, Y\) 独立, \(X\) 有概率密度 \(f(x), Y\) 为离散型, 其分布为.

\[ P\left(X=a_{i}\right)=p_{i}, i=1,2, \cdots, p_{i}>0, i=1,2, \cdots \]

证明: 若 \(a_{1}, a_{2}, \cdots\) 都不为 0 , 则 \(X Y\) 有密度函数

\[ h(x)=\sum_{i=1}^{\infty} p_{i}\left|a_{i}\right|^{-1} f\left(x / a_{i}\right) \]

若 \(a_{1}, a_{2}, \cdots\) 中有为 0 的, 则 \(X Y\) 没有概率密度函数.

设 \(Y\) 为只取正值的随机变量, 且 \(\log Y\) 服从正态分布 \(N\left(a, \sigma^{2}\right)\). 求 \(Y\) 的密度函数 ( \(Y\) 的分布称为对数正态分布).

20 . 设 \(X\) 服从自由度为 \(n\) 的 \(t\) 分布, 而 \(Y=X / \sqrt{a+X^{2}}\), 其中 \(a>0\) 为常数, 试求 \(Y\) 的密度函数.

设 \(X \sim N(0,1), Y=\cos X\), 求 \(Y\) 的密度函数.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 独立同分布, \(X_{1}\) 有分布函数 \(F(x)\) 和密度函数 \(f(x)\). 记

\[ Y=\max \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right), Z=\min \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right) \]

证明: \(Y, Z\) 分别有概率密度函数 \(n F^{n-1}(x) f(x)\) 和 \(n[1-F(x)]^{n-1} \cdot f(x)\).

续上题, 若 \(F(X)\) 为 \([0, \theta]\) 上的均匀分布 ( \(\theta>0\) 为常数). 用上题结果证明: \(\theta-\max \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 与 \(\min \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 的分布相同, 并从对称的观点对这个结果作一直观的解释.
设 \(X_{1}, X_{2}\) 独立同分布, 其公共密度为

\[ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases} \]

记 \(Y_{1}=\min \left(X_{1}, X_{2}\right), Y_{1}=\max \left(X_{1}, X_{2}\right)-\min \left(X_{1}, X_{2}\right)\). 证明: \(Y_{1}\) 与 \(Y_{2}\) 独立, \(Y_{1}\) 的分布与 \(X_{1} / 2\) 的分布同, \(Y_{2}\) 的分布与 \(X_{1}\) 同 (直接计算概率 \(P\left(Y_{1}\right.\) \(\left.\left.\leqslant u, Y_{2} \leqslant u\right)\right)\).

一大批元件其寿命服从指数分布 (1.21). 固定一个时间 \(T>0\). 让一个元件从时刻 0 开始工作. 每当这元件坏了马上用一个新的替换之. 以 \(X\) 记到时刻 \(T\) 为止的替换次数. 证明: \(X\) 服从波哇松分布 \(P(\lambda T)\), 即 \(P(X=n)=\) \(\mathrm{e}^{-\lambda T n} / n\) ! (用归纳法, 详见提示).
证明 \(F_{m, n}(a)=F_{n, m}(1-a), 0<a<1\).
设 \((X, Y)\) 服从二维正态分布 \(N\left(a, b, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)\). 证明: 必存在常数 \(b\), 使 \(X+b Y\) 与 \(X-b Y\) 独立.
设 \((X, Y)\) 有密度函数

\[ f(x, y)= \begin{cases}\frac{c}{1+x^{2}+y^{2}}, & \text { 当 } x^{2}+y^{2} \leqslant 1 \\ 0, & \text { 当 } x^{2}+y^{2}>1\end{cases} \]

(a) 求出常数 \(c\). (b)算出 \(X, Y\) 的边缘分布密度,并证明 \(X, Y\) 不独立.

证明: 对任何自然数 \(k, n\) 及 \(0<a<1\), 有

\[ k F_{k, n}(a) \geqslant F_{1, n}(a) \]

(实际成立严格不等号).

设 \(X, Y\) 独立,都服从标准正态分布 \(N(0,1)\), 以 \(f(x, y)\) 记 \((X, Y)\) 的联合密度函数。证明:函数

\[ g(x, y)= \begin{cases}f(x, y)+x y / 100, & \text { 当 } x^{2}+y^{2} \leqslant 1 \\ f(x, y), & \text { 当 } x^{2}+y^{2}>1\end{cases} \]

是二维概率密度函数. 若随机向量 \((U, V)\) 有密度函数 \(g(x, y)\), 证明: \(U, V\) 都服从标准正态分布 \(N(0,1)\), 但 \((U, V)\) 不服从二维正态分布:

本例说明: 由各分量为正态推不出联合分布为正态.

练习⚓︎

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