练习⚓︎

计算对数正态分布的均值和方差 (对数正态分布见第二章习题 19).
计算均匀分布 \(R(a, b)\) 的峰度系数.
计算超几何分布的均值和方差.
一人有 \(N\) 把钥匙, 每次开门时, 他随机地拿出一把 (只有一把钥题能打开这道门), 直到门打开为止. 以 \(X\) 记到此时为止用的钥题数 (包括最后拿对的那一把). 按以下两种情况分别计算 \(E(X):(a)\) 试过不行的不再放回去. (b) 试过不行的仍放回去.

*一般 \(\Phi(x)\) 的表上只列出当 \(\Phi(x) \geqslant 1 / 2\) 时, \(x\) 之值. 若 \(\Phi(x)<1 / 2\), 则须先由公式 \(\Phi(-x)=1-\Phi(x)(>1 / 2)\) 查出 \(-x\) 再得出 \(x\). 有的表列出的是由 \(2(1-\Phi(x))\) 之值求 \(x(x>0)\). 这时对本例而言. 应先由 \(2(1-\Phi(y))=0.2\), 定出 \(y\), 再取 \(x=-y\) 即得。 5. 某县有 \(N\) 农户, 其年收人分别为 \(a_{1}, \cdots, a_{N}\). 为估计平均收人 \(a=\left(a_{1}\right.\) \(\left.+\cdots+a_{N}\right) / N\), 随机不放回地抽出 \(n\) 农户 \((1 \leqslant n \leqslant N)\), 以 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 记所抽出的 \(n\) 农户的年收人, 而以 \(X=\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right) / n\) 去估计 \(a\). 计算 \(E(\bar{X})\) 和 \(\operatorname{Var}(\bar{X})\).

一盒中有 \(n\) 个不同的球, 其上分别写数字 \(1,2, \cdots, n\). 每次随机抽出 1 个, 登记其号码, 放回去, 再抽, 一直抽到登记有 \(r\) 个不同的数字为止. 以 \(X\) 记到这时为止的抽球次数,计算 \(E(X)\).
把 \(r\) 个球随机地放入 \(n\) 个盒子中, 以 \(X\) 记空盒个数, 计算 \(E(X)\). 此题如直接从计算 \(P(X=k)\) 出发很难, 但用下述步骤可以解决.

(a) 以 \(p_{k}(r, n)\) 记 \(r\) 个球随机放人 \(n\) 盒恰有 \(k\) 个空盒的概率, 用全概率公式证明:

\[ p_{k}(r+1, n)=p_{k}(r, n) \frac{n-k}{n}+p_{k+1}(r, n) \frac{k+1}{n} \]

(b) 以 \(m_{r}\) 记题中要计算的均值 \(E(X)\). 由 (a) 中得出的公式 (1) 两边乘 \(k\) 对 \(k\) 求和, 证明

\[ m_{r+1}=\left(1-\frac{1}{n}\right) m_{r}, \quad r=0,1,2, \cdots \]

再由 \(m_{0}=n\) 即得 \(m_{r}=n\left(1-\frac{1}{n}\right)^{r}\).

设 \(n\) 为自然数, \(f(x)=C /\left(1+x^{2}\right)^{n}\), 找常数 \(C\), 使 \(f(x)\) 为概率密度函数, 并计算其均值方差.
设 \(X_{1}, X_{2}\) 独立, 都服从标准正态分布 \(N(0,1)\). 记 \(Y_{1}=\max \left(X_{1}\right.\), \(\left.X_{2}\right), Y_{2}=\min \left(X_{1}, X_{2}\right)\). 计算 \(E\left(Y_{1}\right), E\left(Y_{2}\right)\).
设 \(X_{1}, X_{2}\) 独立,都服从卡方分布,而常数 \(b\) 非 0 非 1 , 则 \(X_{1}+b X_{2}\) 决不服从卡方分布。
设 \(X, Y\) 独立, 都服从标准正态分布, 而 \(Z=\left(a X^{2}+b Y^{2}\right) /\left(X^{2}+\right.\) \(\left.Y^{2}\right)\), 其中 \(a, b\) 为常数. 计算 \(E(Z)\) 和 \(\operatorname{Var}(Z)\).
设随机变量 \(X\) 只取非负值, 其分布函数为 \(F(x)\), 证明: 在以下两种情况都有

\[ E(X)=\int_{0}^{\infty}[1-F(x)] \mathrm{d} x \]

(a) \(X\) 有概率密度函数 \(f(x)\).

(b) \(X\) 为离散型, 有分布 \(P(X=k)=p_{k}, k=0,1,2, \cdots\)

注: 公式 (2)对任何非负随机变量都对,并不限于 (a),(b)两种情况 . 但证明超出初等方法之外

设 \(X_{1}, X_{2}\) 独立同分布,都只取正值,则必有 \(E\left(X_{1} / X_{2}\right) \geqslant 1\), 等号当且仅当 \(X_{1}, X_{2}\) 只取一个值时成立.

注: 按此题结论, 也有 \(E\left(X_{2} / X_{1}\right) \geqslant 1\left(X_{1}, X_{2}\right.\) 地位平等 \()\), 故 \(E\left(X_{1} / X_{2}\right)\) \(E\left(X_{2} / X_{1}\right) \geqslant 1\), 但 \(\left(X_{1} / X_{2}\right)\left(X_{2} / X_{1}\right) \equiv 1\).

设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 独立同分布,都只取正值. 证明:

\[ E\left(\frac{X_{1}}{X_{1}+\cdots+X_{n}}\right)=\frac{1}{n} \]

设 \(p_{1}, \cdots, p_{n}\) 都界于 0,1 之间,记 \(p\) 为它们的算术平均. 作两串独立试验, 每串各 \(n\) 次, 在第一串中, 事件 \(A\) 在各次试验中发生的概率, 依次为 \(p_{1}, \cdots, p_{n}\). 在第二串中, 事件 \(A\) 在各次试验中发生的概率始终保持为 \(p\). 以 \(Y_{1}\) 和 \(Y_{2}\) 分别记在第一串和第二串试验中事件 \(A\) 发生的总次数. 证明 \(Y_{1}\), \(Y_{2}\) 有相同均值, 而 \(\operatorname{Var}\left(Y_{1}\right) \geqslant \operatorname{Var}\left(Y_{2}\right)\), 等号当且仅当 \(p_{1}=\cdots=p_{n}=p\) 时成立. 试给这后一结论以一直观的解释.
设随机变量 \(X\) 只取 \([0,1]\) 上的值. 证明 \(\operatorname{Var}(x) \leqslant 1 / 4\). 指出等号达到的情况，把这结果推广到 \(X\) 只取 \([a, b]\) 上的值的情况.
在第一章例 1.2 中, 若先到的人必等到后到的人来了为止, 问先到的人平均要等多久?
设 \(X\) 服从指数分布, 试计算其中位数 \(m\) 以及 \(E|X-m|\).
设 \(X\) 有概率密度函数 \(f(x)\). 令 \(h(a)=E|X-a|\). 证明: 当 \(a\) 等于 \(X\) 的中位数 \(m\) 时, \(h(a)\) 达到最小 (这是中位数一个重要性质).
解第二章 27 题, 用如下的方法: 找 \(b\), 使 \(X+b Y\) 和 \(X-b Y\) 的相关系数为 0 . 这比用第二章的方法简单得多.
设 \(X_{1}, X_{2}\) 独立, 分别有概率密度函数 \(f\left(x_{1}\right)\) 和 \(g\left(x_{2}\right)\). 试求 \(Y=\) \(X_{1} X_{2}\) 的密度函数,并用所得结果证明

\[ E(Y)=E\left(X_{1}\right) E\left(X_{2}\right) \]

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