练习⚓︎

习题⚓︎

设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 是抽自负二项分布的样本, 求 \(p\) 的矩估计与极大似然估计。
(a) 设 \(a_{1}, \cdots, a_{n}\) 是 \(n\) 个实数, 定义函数 \(h(a)=\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}-a\right|\). 证明:当 \(a\) 为 \(a_{1}, \cdots, a_{n}\) 的样本中位数 (见 4.29) 式) 时, \(h(a)\) 达到最小值. (b) 设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为自具概率密度函数 \(\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x-\theta|}\) 中抽出的样本 (这个分布叫拉普拉斯分布), 求参数 \(\theta\) 的矩估计与极大似然估计.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自均匀分布 \(R(\theta, 2 \theta)\) 的样本, 求 \(\theta\) 的矩估计与极大似然估计。
(a) 证明

\[ \begin{gathered} f(x ; a, \sigma)=\left(\sqrt{2 \pi} \sigma^{3}\right)^{-1}(x-a)^{2} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^{2}}(x-a)^{2}\right) \\ -\infty<x<\infty \end{gathered} \]

作为 \(x\) 的函数是概率密度, 其中 \(a, \sigma\) 为参数, \(-\infty<a<\infty, \sigma>0\).

(b) 设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自此总体的样本, 求 \(a\) 和 \(\sigma^{2}\) 的矩估计.

(c) 列出 \(a, \sigma^{2}\) 的极大似然估计所满足的方程,并指出一种叠代求解的方法.

设 \(X\) 为抽自波哇松分布 \(P(\lambda)\) 的样本 (样本大小为 1 ), 参数 \(\lambda\) 有先验密度 \(h(\lambda)=\mathrm{e}^{-\lambda}(\) 当 \(\lambda>0 . h(\lambda)=0\) 当 \(\lambda \leqslant 0)\). 试求 \(\lambda\) 的贝旪斯估计.
204 • 6. 设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自指数分布的样本. 分布中的参数 \(\lambda\) 有先验密度 \(h(\lambda)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda}\) 当 \(\lambda>0, h(\lambda)=0\) 当 \(\lambda \leqslant 0\). 求 \(\lambda\) 的贝叶斯估计.
(a) 设 \(N, n, m\) 都是自然数, \(n \leqslant N\). 证明组合公式 (注意: \(\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right)=0\) 当 \(a<b\) )

\[ \sum_{m=0}^{N}\left(\begin{array}{c} m \\ x \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} N-m \\ n-x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} N+1 \\ n+1 \end{array}\right), x=0,1, \cdots, n \]

（b）设 \(X\) 为抽自超儿何分布

\[ P_{M}(X=x)=\left(\begin{array}{c} m \\ x \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} N-M \\ n-x \end{array}\right) /\left(\begin{array}{l} N \\ n \end{array}\right) \]

的样本, \(M\) 为末知参数, 其先验分布为

\[ P(M=k)=1 /(N+1), k=0,1, \cdots, N \]

试利用 (a) 的结果证明: \(M\) 的贝叶斯估计为

\[ \hat{M}(x)=(N+2)(X+1) /(n+2)-1 \]

设 \(X\) 为抽自二项分布 \(B(n, p)\) 的样本, \(n\) 已知, \(p\) 为末知参数. 证明: 对任何常数 \(c, d, d>_{c}>0\), 可找到 \(p\) 的先验分布 (可以为广义的), 使 \(p\) 的贝叶斯估计为 \((X+c) /(n+d)\).
设 \(X\) 为抽自二项分布 \(B(n, p)\) 的样本, \(n\) 已知, 而 \(p\) 为末知参数（a) 作 \(p^{2}\) 的一个无偏估计. (b) 证明: 若 \(g(p)\) 有无偏估计存在, 则 \(g(p)\) 必是 \(p\) 的不超过 \(n\) 阶的多项式. (c) 反过来, 对 \(p\) 的任一不超过 \(n\) 阶的多项式 \(g(p)\), 它的无偏估计必存在.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自 \(R(0, \theta)\) 的样本. (a) 证明: \(\hat{\theta}_{1}=\max \left(X_{1}, \cdots\right.\), \(\left.X_{n}\right)+\min \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 是 \(\theta\) 的一个无偏估计. (b) 证明: 对适当选择的参数 \(c_{n}, \hat{\theta}_{2}=c_{n} \min \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 是 \(\theta\) 的无偏估计. 但这个估计的方差比另外两个无侮估计 \(\hat{\theta}_{3}=\bar{X}\) 和 \(\hat{\theta}_{4}=\frac{n+1}{n} \max \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 都大(除非 \(\left.n=1\right)\).
设 \(X\) 为抽自波哇松分布 \(P(\lambda)\) 的样本. (a) 证明: \(g(\lambda)=\mathrm{e}^{-2 \lambda}\) 的唯的无偏估计 \(\hat{\theta}(X)\) 为: \(\hat{\theta}_{1}(X)=1\) 当 \(X\) 为偶数, \(\hat{\theta}_{1}(X)=-1\) 当 \(X\) 为奇数. (b) 你认为 (a)中的估计是否合理? 如不合理,试提出一个合理的估计.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自正态总体 \(N\left(a, \sigma^{2}\right)\) 的样本, 则已知 \(\hat{\theta}_{1}=\) \(\frac{1}{n-1} \sum_{1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\) 为 \(\sigma^{2}\) 之一无偏估计. 证明: \(\hat{\theta}_{2}=\frac{n-1}{n+1} \hat{\theta}_{1}\) 虽非 \(\sigma^{2}\) 的无偏估计, 但 \(\hat{\theta}_{2}\) 的均方误差较小, 即: \(E\left(\hat{\theta}_{2}-\sigma^{2}\right)^{2}<E\left(\hat{\theta}_{1}-\sigma^{2}\right)^{2}\). 本题及 11 题都说明: 无偏估计不一定是最好的选择.
设在 12 题中 \(a\) 已知. (a) 则 \(\hat{\theta}_{3}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-a\right)^{2}\) 也是 \(\sigma^{2}\) 的无偏估计. 且其方差小于上题中的估计 \(\widehat{\theta}_{1}\) 的方差. (b) 进一步证明: \(\hat{\theta}_{3}\) 是 \(\sigma^{2}\) 的 MVU 估计。
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 是从具概率密度函数

\[ f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc} 2 \sqrt{\theta / \pi} \exp \left(-\theta x^{2}\right), & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{array}\right. \]

的总体中抽出的样本. 证明: 对适当选择的常数 \(C, \hat{\theta}=C \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} / n\) 是 \(1 / \theta\) 的 MVU 估计.

(a) 若 \(\hat{\theta}_{1}, \hat{\theta}_{2}\) 都是 \(\theta\) 的 MVU 估计,则 \(\left(\hat{\theta}_{1}+\hat{\theta}_{2}\right) / 2\) 也是. (b) 若 \(\hat{\theta}\) 是 \(\theta\) 的 MVU 估计而 \(a \neq 0\) 和 \(b\) 都是已知常数,则 \(a \hat{\theta}+b\) 是 \(a \theta+b\) 的 MVU 估计.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为从某一个具均值 \(\theta\) 而方差有限的总体中抽出的样本, 证明: 对任何常数 \(c_{1}, \cdots, c_{n}\), 只要 \(\sum_{i=1}^{n} c_{n}=1\), 则 \(\sum_{i=1}^{n} c_{i} X_{i}\) 必是 \(\theta\) 的无偏估计. 但是, 只有在 \(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=1 / n\) 时, 方差达到最小 (指在上述形式的估计类中达到最小. 实际可以证明: \(\bar{X}\) 在 \(\theta\) 的一切无偏估计类中方差也达到最小).
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自均匀分布 \(R(0, \theta)\) 中的样本. 证明: 对任给的 \(1-\alpha(0<1-\alpha<1)\), 可找到常数 \(c_{n}\), 使 \(\left[\max \left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right), c_{n} \max \left(X_{1}, \cdots\right.\right.\), \(\left.\left.X_{n}\right)\right]\) 为 \(\theta\) 的一个置信系数 \(1-\alpha\) 的区间估计.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 和 \(Y_{1}, \cdots, Y_{m}\) 分别是抽自正态总体 \(N\left(\theta, \sigma_{1}^{2}\right)\) 和 \(N(\theta\), \(\left.\sigma_{2}^{2}\right\rangle\) 的样本, \(\sigma_{1}^{2}\) 和 \(\sigma_{2}^{2}\) 都已知. (a) 找常数 \(c, d\), 使 \(\hat{\theta}=c \bar{X}+d \bar{Y}\) 为 \(\theta\) 的无偏估计. 并使其方差最小 (在所有形如 \(a \bar{X}+b \bar{Y}\) 的无偏估计类中最小). (b) 基于 \(\hat{\theta}\),作出 \(\theta\) 的置信系数为 \(1-\alpha\) 的置信区间.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 是抽自具参数 \(\lambda_{1}\) 的指数分布的样本, \(Y_{1}, \cdots, Y_{m}\) 是抽自具参数为 \(\lambda_{2}\) 的指数分布的样本, 试求 \(\lambda_{2} / \lambda_{1}\) 的区间估计.
设 \(X_{1}, X_{2}\) 为抽自具密度函数

\[ f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{l} \mathrm{e}^{9-x}, x \geqslant \theta \\ 0, x<\theta \end{array}\right. \]

的总体的样本. 参数 \(\theta\) 的先验密度为

\[ h(\theta)=\left\{\begin{array}{l} \mathrm{e}^{-\theta}, \theta>0 \\ 0, \theta \leqslant 0 \end{array}\right. \]

求 \(\partial\) 的以叶斯区间估计.

证明 (3.2) 式.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自均匀分布总体 \(R\left(\theta_{1}, \theta_{2}\right)\) 的样本. 证明: 存在只依粨 J \(n\) 的常数 \(c_{n}\), 使 \(\bar{X}-c_{n} S\) 和 \(\bar{X}+c_{n} S\) 分别是 \(\theta_{1}\) 和 \(\theta_{2}\) 的无偏估计.
设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自正态总体 \(N\left(\theta, \sigma^{2}\right)\) 的样本, \(\theta\) 和 \(\sigma^{2}\) 都末知. 证 ㅂ]: \(\bar{X}\) 仍为 \(\theta\) 的 MVU 估计.

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