附录

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1. A. 若干检验的一致最优性

在本章定义 1.3 中已给出了一个检验问题 \(H_{0}: H_{1}\) 的水平 \(\alpha\) 一致最优检验的定义. 它是一切水平 \(\alpha\) 检验中其功效在对立假设 \(H_{1}\) 上处处达到最大的检验. 如已说明的, 这种检验的存在是稀有 的例外, 但在一些重要的单参数分布族的单侧检验问题中, 以及在 个别多参数检验中, 它确实存在. 5.2 节中许多例子属于这种情 况。这里我们来作一些讨论.

2. 1. 简单假设下的奈曼一皮尔逊基本引理

考虑一个最简单的情况：原假设 \(H_{0}\) 和对立假设 \(H_{1}\) 中, 都只 包含一分布. 为确定计, 设分布都有密度, 离散型的情况完全类似, 只须把积分变成求和即可. 因此, 有

3. \(H_{0}\) : 总体有密度 \(f_{0}(x)\)

\(H_{1}\) : 总体有密度 \(f_{1}(x)\)

设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为样本, 则 \(\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)\) 的密度, 在 \(H_{0}\) 和 \(H_{1}\) 之下, 分别为 \(g_{0}(y)=f_{0}\left(x_{1}\right) \cdots f_{0}\left(x_{n}\right)\) 和 \(g_{1}(y)=f_{1}\left(x_{1}\right) \cdots f_{1}\left(x_{n}\right)\). 这 里已简记 \(y=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\). 求这个问题的水平 \(\alpha\) 的检验, 转化为 下述数学问题: 找 \(y\) 空间之一区域 \(Q\), 作为检验的否定域 (当 \(\left(X_{1}\right.\), \(\left.\cdots, X_{n}\right)\) 落在 \(Q\) 内时否定 \(H_{0}\), 不然就接受 \(\left.H_{0}\right)\). 为使 \(Q\) 达到最优, 就必须在条件

\[ \int_{Q} g_{0}(y) \mathrm{d} y \leqslant \alpha \]

之下, 使 \(\int_{Q} g_{1}(y) \mathrm{d} y\) 达到最大. 很容易看出: 为达到这一点, \(Q\) 必 须这样取: 把比值 \(g_{1}(y) / g_{0}(y)\) 大的那些 \(y\) 收进来. 这就是奈一皮 基本引理:

奈-皮基本引理 水平 \(\alpha\) 的一致最优检验 \(\varphi\) 的否定域 \(Q\) 应如 下取:找常数 \(C\), 使

\[ Q=\left\{y: g_{1}(y) / g_{0}(y)>C\right\} \]

而满足

\[ \int_{Q} g_{0}(y) \mathrm{d} y=\alpha \]

证 (2) 式保证了检验 \(\varphi\) 的水平为 \(\alpha\), 现设 \(\varphi^{\prime}\) 为另一水平 \(\alpha\) 检 验, 其否定域为 \(Q^{\prime}\). 记 \(Q\) 与 \(Q^{\prime}\) 的公共部分为 \(R . Q_{1}\) 记 \(Q\) 中去掉 \(R\) 的剩余部分, \(Q^{\prime}{ }_{1}\) 记 \(Q^{\prime}\) 中去掉 \(R\) 的剩余部分 (图 5.5), 则易见

\[ \int_{Q^{\prime}} g_{1}(y) \mathrm{d} y-\int_{Q^{\prime}} g_{1}(y) \mathrm{d} y=\int_{Q_{1}} g_{1}(y) \mathrm{d} y-\int_{Q_{1}^{\prime}} g_{1}(y) \mathrm{d} y \]

由于 \(\varphi^{\prime}\) 有水平 \(\alpha\), 有

\[ \int_{Q^{\prime}} g_{0}(y) \mathrm{d} y \leqslant \alpha \]

再由 (2) 式, 知

\[ \int_{Q_{1}} g_{0}(y) \mathrm{d} y \geqslant \int_{Q_{1}^{\prime}} g_{0}(y) \mathrm{d} y \]

因为 \(Q_{1}^{\prime}\) 在 \(Q\) 之外,按 (1) 式, 当 \(y\) 属于 \(Q_{1}^{\prime}\) 时,有 \(g_{1}(y) \leqslant C g_{0}(y)\). 而当 \(y\) 属于 \(Q_{1}\) 时有

\(g_{1}(y)>\operatorname{Cg}_{0}(y)\). 故

\[ \int_{Q_{1}} g_{1}(y) \mathrm{d} y \geqslant C \int_{Q_{1}} g_{0}(y) \mathrm{d} y, \int_{Q_{1}^{\prime}} g_{1}(y) \mathrm{d} y \leqslant C \int_{Q_{1}^{\prime}} g_{0}(y) \mathrm{d} y \]

由此及 \((3),(4)\), 即知

\[ \int_{Q} g_{1}(y) \mathrm{d} y \geqslant \int_{Q_{1}^{\prime}} g_{1}(y) \mathrm{d} y \]

即检验 \(\varphi\) 的功效总不小于 \(\varphi^{\prime}\) 的功效, 由于 \(\varphi^{\prime}\) 是任取的水平 \(\alpha\) 检 验,证明了 \(\varphi\) 是水平 \(\alpha\) 的一致最优检验.

1. 复合假设检验的情况

现考虑一般的复合假设检验问题 \(H_{0}: H_{1}\). 关于其水平 \(\alpha\) 一致 最优检验的存在, 有如下的简单结果:

定理 在 \(H_{0}\) 中取定一值 \(\theta_{0}\), 对 \(H_{1}\) 中的值 \(\theta_{1}\) 建立假设检验 问题:

\[ H_{0}^{\prime}: \theta_{0} ; H_{1}^{\prime}: \theta_{1} \]

按奈一皮引理,求出其水平 \(\alpha\) 一致最优检验 \(\varphi\). 如果 \(\varphi\) 符合以下两 个条件,则它必须是原问题 \(H_{0}: H_{1}\) 的一个水平 \(\alpha\) 一致最优检验:

\(1^{\circ}\) 检验 \(\varphi\) 也是 \(H_{0}: H_{1}\) 的水平 \(\alpha\) 检验.

\(2^{\circ}\) 检验 \(\varphi\) 不依赖于 \(\theta_{1}\) 值.

证 设 \(\varphi^{\prime}\) 为 \(H_{0}\) : \(H_{1}\) 之任一水平 \(\alpha\) 检验, 则它必是 (5) 的一个 水平 \(\alpha\) 检验. 这很显然: 以 \(\beta_{\varphi^{\prime}}(\theta)\) 记 \(\varphi^{\prime}\) 的功效函数. \(\varphi^{\prime}\) 为 \(H_{0}: H_{1}\) 的水平 \(\alpha\) 检验, 意味着 \(\beta_{\varphi^{\prime}}(\theta)\) 在 \(H_{0}\) 上处处不超过 \(\alpha\), 因而特别在 \(\theta_{0}\) 点不超过 \(\alpha\). 这样, \(\varphi\) 和 \(\varphi^{\prime}\) 都是 (5) 的水平 \(\alpha\) 检验而 \(\varphi\) 是 (5) 的 水平 \(\alpha\) 一致最优检验，故 \(\beta_{\varphi}\left(\theta_{1}\right) \geqslant \beta_{\varphi^{\prime}}\left(\theta_{1}\right)\). 因为这个事实对 \(H_{1}\) 中任一个 \(\theta_{1}\) 都成立, 即知 \(\varphi\) 为 \(H_{0}: H_{1}\) 的水平 \(\alpha\) 一致最优检验.

在本定理中, \(\theta_{0}\) 值如何取? 对形如 \(\theta \leqslant a\) 或 \(\theta \geqslant a\) 这样的单侧 原假设, \(\theta_{0}\) 总是取为 \(a\).

例 \(1 X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自正态总体 \(N\left(\theta, \sigma^{2}\right)\) 的样本, \(\sigma^{2}\) 已知， 考虑检验问题

\[ H_{0}: \theta \leqslant a ; H_{1}: \theta>a \]

\(a\) 为给定常数.

按本定理,取 \(\theta_{0}=a\), 任取 \(\theta_{1}>a\). 作检验问题

\[ H_{0}^{\prime}: \theta=a ; H_{1}^{\prime}: \theta=\theta_{1} \]

按奈一皮基本引理, (7) 的水平 \(\alpha\) 一致最优检验 \(\varphi\) 有否定域:

\[ \begin{gathered} \left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\right)^{n} \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\theta_{1}\right)^{2}\right]\right. \\ \left.\mid\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\right)^{n} \exp \left[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-a\right)^{2}\right]>C\right\} \end{gathered} \]

取对数,易知此集合为

\[ \left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right): \sigma^{-2}\left(\theta_{1}-a\right) \sum_{i=1}^{n} x_{i}>C_{1}\right\} \]

对某个常数 \(C_{1}\). 因 \(\theta_{1}-a>0, \sigma^{2}>0\), 此集合化为

\[ \left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right): \sum_{i=1}^{n} x_{i}>C_{2}\right\} \]

的形状. \(C_{2}\) 为另一常数, 要使此检验有水平 \(a\), 应取 \(C_{2}=n a+\) \(\sqrt{n} \sigma u_{\alpha}\). 此值与 \(\theta_{1}\) 无关, 因而定理的条件 \(2^{\circ}\) 满足. 另外, 这个检验 的功效函数是 \(1-\Phi\left(u_{\alpha}-\frac{\theta-a}{\sigma}\right)\), 是 \(\theta\) 的上升函数. 所以, 这个检 验也是 (6) 的水平 \(\alpha\) 检验. 这样, 条件 \(1^{\circ}\) 也适合. 据定理, 这检验就 是 (6) 的水平 \(\alpha\) 的一致最优检验.

指数分布, 二项分布和波哇松分布参数的单侧假设检验问题, 也可以用与本例相同的方法证明其一致最优检验存在. 留给读者 作为习题.

若在本例中考察双侧假设 \(H_{0}: \theta=a, H_{1}: \theta \neq a\), 则一致最优 检验不存在, 其理由现在也不难看出, 因现在 \(\theta_{1}\) 可以大于 \(a\) 也可 以小于 \(a\). 当 \(\theta_{1}>a\) 时, 检验问题 (7) 的一致最优检验的形式如 (8). 若 \(\theta_{1}<a\), 则一致最优检验的否定域形如

\[ \left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right): \sum_{i=1}^{n} x_{i}<C_{3}\right\} \]

与(8)不同. 因此,定理的条件 \(2^{\circ}\) 不满足.

4. B. 非中心 \(t\) 分布与 \(t\) 检验

设 \(X\) 与 \(Y\) 独立, \(X \sim N(0,1), Y \sim \chi_{n}^{2}\), 又设 \(\delta\) 为常数, 则随机 变量 \(Z=(X+\delta) / \sqrt{\frac{1}{n} Y}\) 的分布称为自由度 \(n\) 、非中心参数 \(\delta\) 的 非中心 \(t\) 分布, 记为 \(Z \sim t_{n, \delta} . t_{n, \delta}\) 的分布函数将记为 \(F_{n, \delta}(x)\). 当 \(\delta=0\) 时, 就得到在第二章例 4.10 中介绍过的自由度 \(n\) 的 \(t\) 分布 (有时称中心 \(t\) 分布).

非中心 \(t\) 分布也是数理统计应用上的重要分布, 但其分布函 数 \(F_{n, \delta}(x)\) 的形式很复杂, 此处不去介绍. 只提到一点对下文有用 的性质: 若 \(\delta_{2}>\delta_{1}\), 则 \(F_{n, \delta_{2}}(x) \leqslant F_{n, \delta_{1}}(x)\). 事实上, 记

\[ Z_{i}=\left(X+\delta_{i}\right) / \sqrt{\frac{1}{n} Y}, i=1,2 \]

\(X, Y\) 如上文所述, 则有 \(Z_{1}<Z_{2}\), 故对任何 \(x\) 有 \(P\left(Z_{1} \leqslant x\right) \geqslant\) \(P\left(Z_{2} \leqslant x\right)\), 即 \(F_{n, \delta_{1}}(x) \geqslant F_{n, \delta_{2}}(x)\).

有了这些准备, 我们可以解决 5.2 节中遗留下来的有关 \(t\) 检 验的问题.

设 \(X_{1}, \cdots, X_{n}\) 为抽自 \(N\left(\theta, \sigma^{2}\right)\) 中的样本, \(\theta, \sigma^{2}\) 都末知, 对假 设检验问题

\[ H_{0}: \theta \geqslant \theta_{0}, H_{1}: \theta<\theta_{0} \]

我们引进了 \(t\) 检验 \(\psi\), 由 (2.14) 给出. 其功效函数为 (2.15). 现易 知, \((2.15)\) 的 \(\beta_{\psi}(\theta, \sigma)\) 为

\[ \beta_{\psi}(\theta, \sigma)=F_{n-1, \sqrt{n}\left(\theta-\theta_{0}\right) / \sigma}\left(-t_{n-1}(\alpha)\right) \]

事实上,有

\[ \sqrt{n}\left(\bar{X}-\theta_{0}\right) / S=\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\theta)}{\sigma}+\frac{\sqrt{n}\left(\theta-\theta_{0}\right)}{\sigma}\right) \sqrt{\frac{1}{\sigma^{2}} S^{2}} \]

当参数值为 \((\theta, \sigma)\) 时, \(\sqrt{n}(\bar{X}-\theta) / \sigma \sim N(0,1),(n-1) S^{2} / \sigma^{2} \sim\) \(\chi_{n}^{2}-1\), 且二者独立. 故按非中心 \(t\) 分布的定义及 \((2.15)\) 式, 即得 (9).

由 (9) 式可知, \(\beta_{\psi}(\theta, \sigma)\) 为 \(\theta\) 的下降函数. 因当 \(\theta\) 增加时, \(\sqrt{n}\left(\theta-\theta_{0}\right) / \sigma\) 增加. 按前面证明的性质, 即知(9)式右边下降, 因 为 \(\beta\left(\theta_{0}, \sigma\right)=\alpha\), 知当 \(\theta \geqslant \theta_{0}\) 时有 \(\beta_{\psi}(\theta, \sigma) \leqslant \alpha\). 这证明了: \(t\) 检验 (2.14) 有水平 \(\alpha\).

其次, 功效函数 (9) 的形式也说明: 给定 \(\theta_{1}<\theta_{0}\) 及 \(\beta<\alpha\), 不论 你取样本大小 \(n\) 多大, 也无法保证对一切 \(\sigma>0\) 有 \(\beta_{\psi}\left(\theta_{1}, \sigma\right) \geqslant \beta\), 事实上,固定 \(n\), 当 \(\sigma \rightarrow \infty\) 时有

\[ \begin{aligned} \lim _{\sigma \rightarrow \infty} \beta_{\psi}\left(\theta_{1}, \sigma\right) & =\lim _{\sigma \rightarrow \infty} F_{n-1, \sqrt{n}\left(\theta-\theta_{0}\right) / \sigma}\left(-t_{n-1}(\alpha)\right) \\ & =F_{n-1,0}\left(-t_{n-1}(\alpha)\right)=\alpha \end{aligned} \]

这样, 不论你固定 \(n\) 多大, 只要 \(\alpha\) 充分大, 就可以使 \(\beta_{\varphi}\left(\theta_{1}, \sigma\right)<\) \(\beta\).

如果以 \(\sigma\) 为单位来衡量 \(\theta_{1}\) 与 \(\theta_{0}\) 的差距, 即要求当 \(\left(\theta_{1}-\theta_{0}\right) / \sigma\) 固定为某个指定的 \(\delta_{0}<0\) 时有 \(\beta_{\psi}\left(\theta_{1}, \sigma\right) \geqslant \beta(\beta\) 为指定 的小于 1 的数), 则这可以做到: 只须取 \(n\) 充分大, 使 \(F_{n-1, \sqrt{n} \delta_{0}}\) \(\left(-t_{n-1}(\alpha)\right) \geqslant \beta\). 这可以通过查非中心 \(t\) 分布表求得. 这个在实用上看也是合理的. 在方差末知时, 均值距离的实际 意义如何, 往往要看方差大小而定. 方差愈大, 一定的均值距离意 义就愈小.好比秤的误差愈大, 两件东西的重量就必须有更大的差 别, 才能较有把握地在这把秤上显示出来. (9) 式中的功效函数, 通 过 \(\left(\theta-\theta_{0}\right) / \sigma\) 而依赖于 \((\theta, \sigma)\), 反映了这一点.

类似的结论对两样本 \(t\) 检验当然也成立,我们把细节留给读 者去完成.

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