练习

1. 设 $X$ 为抽 自正态总体 $N(\theta ,{\sigma }^2)$ 中的样本(样本大小为 1 ). $\sigma$ 已知, $a$, $b$ 都是给定常数, $a<b$. 要找原假设 $H_0:a⩽\theta ⩽b$ 的水平 $\alpha$ 检验. 完成以下的 步骤:

$1^{\circ }$ 从直观考虑, $H_0$ 的接受域应取为 $C_1⩽X⩽C_2$, 即当 $C_1⩽X⩽C_2$ 时接 受 $H_0$, 不然就否定 $H_0$. 写出这个检验的功率函数 $\beta (\theta )$.

$2^{\circ }$ 找出常数 $C_1,C_2$ 使 $1^{\circ }$ 中找出 $\beta (\theta )$ 满足

$$\beta (a)=\beta (b)=\alpha$$

$3^{\circ }$ 证明由 $1^{\circ },2^{\circ }$ 决定的检验确是 $H_0$ 的水平 $\alpha$ 检验, 即 $\beta (\theta )⩽\alpha$ 当 $a⩽\theta$ $⩽b$.

$4^{\circ }$ 证明这样决定的检验满足

$$\beta (\theta )\to 1\text{, 当 }|\theta |\to \mathrm{\infty }$$

解释这个结果的意义.

$5^{\circ }$ 如果 $X_1,\cdots ,X_n$ 为抽自 $N(\theta ,{\sigma }^2)$ 的样本, $\sigma$ 已知, 利用上面的结果作出 $H_0$ 的检验.

1. 设 $X_1,\cdots ,X_n$ 是抽自指数分布总体的样本, $0<a<b,a,b$ 为已知常 数. 要检验原假设 $H_0:a⩽\lambda ⩽b$. 描述一下 (不须详细推导) 用解第 1 题的思 想来解这个问题的过程.
2. 设 $X_1,\cdots ,X_n$ 和 $Y_1,\cdots ,Y_m$ 分别是抽自正态总体 $N(a,{\sigma }_1^2)$ 和 $N(b$, ${\sigma }_2^2)$ 的样本, $a,b$ 末知而 ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知. 试作出原假设 $H_0:a=b$ 的水平 $\alpha$ 检验. 给定 $d_1>0,d_2>0$, 令 $m=n$, 决定 $n$, 使当 $|a-b|⩾d_1$ 时, 功效函数不小于 $1-d_2$.
3. 设 $X_1,\cdots ,X_n$ 和 $Y_1,\cdots ,Y_m$ 分别是抽自正态总体 $N(a,{\sigma }^2)$ 和 $N(b$, ${\sigma }^2)$ 的样本, $a,b,{\sigma }^2$ 都末知. 试仿照两样本 $t$ 检验的做法, 构造出原假设 $H_0$ : $a=cb$ 的一个水平 $\alpha$ 检验. 这里 $c\ne 0$ 为已知常数.
4. 利用上题的结果解决如下的检验问题: 设 $X_1,\cdots ,X_n$ 和 $Y_1,\cdots ,Y_m$ 分别是抽自正态总体 $N(a,{\sigma }_1^2)$ 和 $N(b,{\sigma }_2^2)$ 的样本, $a,b,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 都末知, 但比 值 ${\sigma }_2^2/{\sigma }_1^2=c^2$ 已知, 要检验原假设 $H_0:a=b$.
5. 设 $X_1,\cdots ,X_n$ 为抽自具参数为 ${\lambda }_1$ 的指数分布的样本, $Y_1,\cdots ,Y_n$ 为 抽自具参数为 ${\lambda }_2$ 的指数分布的样本. 作出原假设 $H_0:{\lambda }_1⩽{\lambda }_2$ 的水平 $\alpha$ 的检 验.
6. 设 $X_1,\cdots ,X_n$ 是抽自均匀分布 $R(0,\theta )$ 的样本,给定 ${\theta }_0>0$. 作出原假 设 $H_0:\theta ⩽{\theta }_0$ 的水平 $\alpha$ 检验.
7. 设 $X_1,\cdots ,X_n$ 是从有下述密度函数的总体中抽出的样本;

$$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{x-\theta },& x⩽\theta \\ 0,& x>\theta \end{array}-\mathrm{\infty }<\theta <\mathrm{\infty }$$

给定常数 ${\theta }_0$. 作出原假设 $H_0:\theta ⩽{\theta }_0$ 的水平 $\alpha$ 检验.

注: 第 7,8 题都需要先由直观出发定出检验统计量, 再根据水平 $\alpha$ 定临 界值.

1. 设 $X$ 为自负二项分布

$$P_{\theta }(X=k)=\left(\begin{array}{l}r+k-1\\ r-1\end{array}\right)p^r(1-p{)}^k,$$

$$k=0,1,2,\cdots ;0<\theta <1$$

中抽出的样本. 给定 ${\theta }_0,0<{\theta }_0<1$. 找原假设 $H_0:\theta ⩽{\theta }_0$ 的水平 $\alpha$ 检验. 如要 求水平严格地为 $\alpha$, 如何实行随机化?

10 . 在上题中, 如果设 $\theta$ 有先验分布 $R(0,1)$, 求该题中原假设 $H_0$ 的贝 叶斯检验.

1. 在第 7 题中, 如果设 $\theta$ 有先验分布 $R(0,a)$ ( $a$ 已知且 $a>{\theta }_0)$. 试求 该题中原假设 $H_0$ 的贝叶斯检验.
2. 事件 $A$ 在一试验中发生的概率记为 $p$, 为检验原假设 $H_0:p⩽1/2$ 是否成立, 甲、乙二人分别采用下述做法: 甲重复试验到 $A$ 第 9 次出现时停 止, 乙重复试验到 $\overline{A}$ 第 3 次出现时停止，两人都在做完第 12 次试验时, 结束 试验. 取检验水平 $\alpha =0.05$. 问: 甲乙两人分别从其试验结果中作出何种结 论? 你从本题结果得到什么启发?
3. 设样本 $X\sim B(n_1,p_1),Y\sim B(n_2,p_2)$. 要检验假设 $H_0:p_1=p_2$. 设 $n_1$ 和 $n_2$ 都充分大, 试作出 $H_0$ 的水平 $\alpha$ 的大样本检验.
4. 设样本 $X$ 服从波晆松分布 $P(\lambda )$. (a) 试用中心极限定理证明: 当 $\lambda$ $\to \mathrm{\infty }$ 时有

$$(X-\lambda )/\sqrt{\lambda }\to N(0,1)$$

(b) 设 ${\lambda }_0$ 充分大. 用 (a) 的结果, 作出原假设 $H_0:\lambda ={\lambda }_0$ 的水平 $\alpha$ 大样本检 验.

1. 在 5.2 节 5.2 .4 段“定数截尾”检验中, 我们定义了检验统计量 $T$ (见(2.34)式), 并曾指出 $2\lambda T\sim {\chi }_2^{2}r$. 这个结果直接证明较繁, 但用下面的归 纳法容易证明,试完成以下步骤。

$1^{\circ }$ 当 $r=1$ 时,这结果成立. 为此注意到当 $r=1$ 时, $T$ 就是 $n{Y}_1$ 而 $Y_1=$ $min(X_1,\cdots ,X_n)$. 用第二章 22 题及 $f(x)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},x>0$, 当 $x⩽0$ 时 $f(x)=$ 0 , 易求出 $Y_1$ 之分布, 因陑求出 $T$ 的分布. 由此算出 $2\lambda T$ 有密度函数 $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-x/2}$ (当 $x>0$,下同), 此即 ${\chi }^{\frac{2}{2}}$ 的密度.

$2^{\circ }$ 设 $r=k$ 时结果成立 (归纳假设), 要证明当 $r=k+1$ 时结果也成立. 为此, 分别用 $T_k$ 和 $T_{k+1}$ 记当 $r=k$ 和 $r=k+1$ 时的 $T$ 值, 而分析一下二者 的关系, 如右图 5.6, 分别显示出 $n$ 个元件依次失效时的寿命 $Y_1,\cdots ,Y_n$. 并 为方便计,把 $Y_k$ 和 $Y_{k+1}$ 分别记为 $a$ 和 $b$. 从图上明显看出:

$$T_{k+1}=T_k+(n-k)(b-a)$$

$b-a$ 是什么? 就是从时刻 $a$ 起算, 当时尚末失 效的 $n-k$ 个元件中最早失效的那个元件的失 效时间 (以 $a$ 为 0 点的时间!). 这样一来 $(n-$ $k)(b-a)$ 不是别的,正是 $n-k$ 个指数分布变 量的最小值乘以个数 $n-k$ (这里用了指数分布 的无后效性: 当一个元件在时刻 $a$ 尚末失效时, 其以 $a$ 为起点以后的寿命, 仍服从原来的指数

图 5.6 分布.见第二章例 1.7$)$. 根据 $1^{\circ }$ 中已证的, $2\lambda (n$ $-k)(a-b)\sim {\chi }_2^2$. 另外, (1) 式右边两项有独立性. 这也是根据指数分布无后 效性的考惫, 而根据归纳假设, $2\lambda T_k\sim {\chi }_{2k}^2$. 故由卡方分布性质, 知 $2\lambda T_{h11}-$ ${\chi }^{\frac{2}{2}}(h+1)$. 这完成了归纳证明.

这也是一种概率方法——不是单凭分析计算, 且利用概率的考虑. 它不 仅简化了证明,也使我们明白了为什么有这个结果的道理所在.

1. 设变量 $X$ 取 $1,2,3,4$ 等值. 有一种理论认为, $X$ 取这 4 个值的概率 呈等比级数, 即

$$P(X=2)/P(X=1)=P(X=3)/P(X=2)$$

$$=P(X=4)/P(X=3)$$

为验证此理论是否正确, 对 $X$ 进行 $n$ 次观察, 发现 $\overline{X}$ 取 $1,2,3,4$ 为值分别有 $n_1,n_2,n_3,n_4$ 次. 试作拟合优度检验, 描述步骤即可以,不必去解方程.

1. 为检验变量 $X$ 的分布是否为指数分布 (参数 $\lambda$ 末知), 选择适当常 数 $a>0$ 及自然数 $k$,把区间 $[0,\mathrm{\infty })$ 分成 $k+1$ 份: $I_1=[0,a),I_2=[a,2a)$, $\cdots ,I_k=[(k-1)a,ka),I_{k+1}=[ka,\mathrm{\infty })$. 用 5.3 节 5.3 .4 段的方法作拟合优 度检验，包括该处所介绍的估计末知参数的方法去估计 $\lambda$. 以 $n$ 记观察次数， $n_1,n_2,\cdots ,n_{k+1}$ 分别记这 $n$ 个观察值中落人 $I_1,I_2,\cdots ,I_{k+1}$ 中的个数.
2. 证明四格表的公式(3.16).
3. 对由本章 (3.2) 式定义的拟合优度统计量 $Z$, 我们有定理 3.1 : 在原 假设下 $Z\to {\chi }_{k-1}^2$ 当 $n\to \mathrm{\infty }$. 此定理末予证明,但我们可以得出若干侧证:

$1^{\circ }$ 在原假设成立时 $E(Z)=k-1$, 与 ${\chi }_{k-1}^2$ 的均值一致;

$2^{\circ }$ 在原假设成立时, $\mathrm{Var}(Z)$ 也可以算出来, 从其表达式易看出: $\mathrm{Var}(Z)$ $\to 2(k-1)$ 当 $n\to \mathrm{\infty }$, 即收敛于 ${\chi }_{k-1}^2$ 之方差.

$1^{\circ }$ 很容易, 请读者证明. $2^{\circ }$ 很繁但不难. 请读者指出计算 $\mathrm{Var}(Z)$ 的详细 步骤,如能坚持算出结果当然很好.

1. (此题用到附录 $A$ 的方法)

$1^{\circ }$ 考虑 5.2 节 5.2 .5 段的检验问题 $1^{\circ }$. 证明: 由 (2.38) 定义的检验 $\phi$ (选 择其中的 $C$ 使检验水平为 $\alpha$ ) 是水平 $\alpha$ 的一致最优检验.

$2^{\circ }$ 考虑 5.2 节 5.2 .6 段的检验问题 $1^{\circ }$. 证明: 由 (2.47) 定义的检验 $\phi$ (选 择其中的 $C$ 使检验水平为 $\alpha$ ) 是水平 $\alpha$ 的一致最优检验.

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