某医院用光电比色计检验尿永时, 测得尿永含量 与消光系数读数的结果如下:
已知 与 之间服从线性模型 .
(1)
试求系数 的估计值, 并写出线性回归直线方程;
解:
详细解析: 首先,我们需要计算一些基本的统计量,如 , , , 和 。
已知数据:
1.求系数 和 的估计值,并写出线性回归直线方程。 线性回归模型的系数估计值为:
公式详细来源见这里,上图中是化简后的公式
我们将使用上述公式来计算 和 的估计值。
2.根据计算,系数 和 的估计值分别为:
因此,线性回归直线方程为:
(2)
求 的无偏估计值;
解:
详细解析:
通过残差平方和计算 的无偏估计值
其中,
最后,无偏估计值可以通过以下公式计算:
在简单线性回归中, 的无偏估计是由残差平方和 除以自由度来得到的。这里的自由度是 。
为什么是 呢?我们来解释一下:
总的观测值数目:我们有 个观测值。
估计的参数数目:在简单线性回归中,我们估计了两个参数,即截距 和斜率 。
自由度:由于我们估计了两个参数,我们失去了两个自由度。因此,残差的自由度是 。
当我们计算 ,我们实际上是在计算模型与实际观测值之间的差异。为了得到每个观测值的平均差异(即方差),我们需要将 除以其自由度,这就是为什么我们使用 而不是 。
使用 作为分母可以确保得到的 是无偏的。如果我们使用 或 作为分母,那么得到的估计值将是有偏的。
经过计算,我们得到的无偏估计值为或约等于 12.367。
因此,的无偏估计值为 12.367。
(3)
检验 与 之间是否存在显著的线性相关关系(取 );
解:
详细解析:
要检验 与 之间是否存在显著的线性相关关系,我们可以使用线性回归的 检验。具体来说,我们将检验斜率 是否显著地不等于0。
回归系数 的 统计量可以通过以下公式计算:
其中 是 的标准误差,可以通过以下公式计算:
在这里, 是残差的方差,我们已经在前面的计算中得到了它的无偏估计值。
一旦我们得到 统计量的值,我们可以与 分布的临界值进行比较,以确定 是否显著地不等于0。具体来说,我们将查找自由度为 的 分布的双尾临界值,对应于显著性水平 。
现在,我们可以计算 统计量的值,并确定 与 之间是否存在显著的线性相关关系。
由于我们的 统计量的绝对值大于临界值,这意味着 与 之间存在显著的线性相关关系。
(4)
在 时, 做出 的预测区间 (取置信概率为 0.95 )。 参考数据:
解:
详细解析:
为了得到 的预测区间,我们可以使用以下公式:
其中:
- 是 对应的 的预测值,可以通过 计算。
- 是自由度为 的 分布的双尾临界值,对应于置信概率 。
- 是残差的标准差,等于 。
- 是数据点的数量。
- 是我们要预测的值,这里 。
- 是 的均值。
现在,我们可以使用给定的数据和上述公式来计算 的预测区间。