补充

1 §

样本均值 $\bar{X}$ 落在 19 到 21 之间的概率在统计学中具有重要的现实意义，特别是在假设检验和置信区间的上下文中。下面解释了其现实意义：

1. 假设检验：当我们进行统计假设检验时，我们通常会设定一个零假设（null hypothesis）和一个备择假设（alternative hypothesis）。我们通过收集样本数据来判断是否拒绝零假设。在这种情况下，样本均值落在某个特定区间内的概率可以用于决定是否拒绝零假设。如果概率很低，表示样本均值与零假设的假定不太一致，可能会导致拒绝零假设。

2. 置信区间：置信区间是用来估计总体参数的范围。当我们想估计总体均值时，可以使用样本均值来构建置信区间。计算样本均值落在某个区间内的概率可以帮助我们确定置信区间的宽度和可信度。在这种情况下，高概率表示置信区间更窄，估计更精确。

3. 质量控制：在生产和制造领域，样本均值落在某个特定区间内的概率可以用于监测产品质量。如果样本均值在一个不希望的区间内的概率很高，可能表明生产过程存在问题，需要进行调整或改进。

4. 医学研究：在医学研究中，样本均值落在某个区间内的概率可以用于确定药物治疗是否有效，或者在临床试验中是否需要更多的样本数据来得出可靠的结论。

总之，样本均值落在特定区间内的概率可以帮助我们在统计分析和决策过程中量化不确定性，并用于做出各种现实世界的决策，从而影响质量控制、医学研究、经济分析等领域的决策和政策制定。

2 §

样本均值 $\bar{X}$ 的抽样分布接近于正态分布 $N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$ 是由于中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）的作用。中心极限定理是统计学中非常重要的定理之一，它描述了在满足一定条件下，独立随机变量的和或均值的分布在样本容量足够大的情况下将接近于正态分布。

并不要求总体分布本身必须是正态分布

中心极限定理的条件如下：

1. 抽样是独立的：每次抽样都是独立的，即一个样本的值不会受到其他样本的影响。

2. 抽样来自同一总体：所有样本都来自同一总体，具有相同的均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$。

3. 样本容量足够大：虽然没有一个明确的阈值，但一般来说，当样本容量 $n$ 足够大时，中心极限定理成立。

基于这些条件，中心极限定理告诉我们，样本均值 $\bar{X}$ 的分布在样本容量足够大时将接近于正态分布，其均值为总体均值 $\mu$，标准差为 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。

现在，让我们简要推导一下中心极限定理：

考虑 $n$ 个独立同分布的随机变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$，它们来自同一总体，具有均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$。我们想要研究这些随机变量的样本均值 $\bar{X}$ 的分布。

首先，样本均值 $\bar{X}$ 可以表示为：

$$\bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\dots +X_n)$$

现在，我们可以计算样本均值的期望值和方差：

期望值：

$$E(\bar{X})=\frac{1}{n}(E(X_1)+E(X_2)+\dots +E(X_n))=\frac{1}{n}(n\mu )=\mu$$

方差：

$$\text{Var}(\bar{X})=\text{Var}\left(\frac{1}{n}(X_1+X_2+\dots +X_n)\right)=\frac{1}{n^2}(\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\dots +\text{Var}(X_n))=\frac{1}{n^2}(n{\sigma }^2)=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

现在，根据期望值和方差的性质，我们知道 $\bar{X}$ 的期望值为 $\mu$，方差为 $\frac{{\sigma }^2}{n}$。根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\bar{X}$ 的分布将接近于正态分布 $N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$。

这就是为什么在很多实际应用中，当样本容量足够大时，可以将样本均值的分布近似为正态分布的原因。这个性质在统计学和数据分析中非常有用，因为它使我们能够使用正态分布的性质来进行推断和假设检验。