t分布

t$分布，也称为学生$t$分布（Student’s t-distribution），是统计学中的一个概率分布。它是正态分布的一个推广，用于估计总体均值的不确定性，特别是当样本大小较小且总体标准差未知时。

以下是$t$分布的一些关键特点：

1. 形状：$t$分布的形状与正态分布相似，但其尾部较为厚重，这意味着与正态分布相比，$t$分布更有可能产生极端值。

2. 自由度：$t$分布的形状由所谓的“自由度”（通常表示为 $\nu$）决定。自由度与样本大小有关，通常为 $n-1$，其中 $n$ 是样本大小。随着自由度的增加，$t$分布越来越接近正态分布。

3. 应用：$t$分布在假设检验（特别是$t$检验）和构建置信区间时非常有用，尤其是当样本大小较小且总体方差未知时。

4. 公式：$t$值的计算公式为： $t=\frac{\bar{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}$ 其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$\mu$ 是总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本大小。

区分

1. 标准化样本均值 (Z值): 当我们知道总体的标准差（记为 $\sigma$）时，我们可以使用以下公式来计算标准化样本均值（也称为Z值）： $Z=\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$\mu$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，而 $n$ 是样本大小。

2. t值: 当我们不知道总体的标准差，而是使用样本的标准差（记为 $s$）作为其估计时，我们使用以下公式来计算t值： $t=\frac{\bar{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}$ 其中，所有的符号都与上面的公式相同。

总结：两者的差异在于分母。Z值使用的是已知的总体标准差，而t值使用的是样本标准差。当样本大小较小且总体标准差未知时，我们通常使用t值。

5. 与正态分布的关系：当自由度趋于无穷大时，$t$分布趋于标准正态分布。

总的来说，当我们不知道总体的标准差并且样本大小较小时，$t$分布提供了一个更为稳健的方法来进行统计推断。

图 §

以下是不同自由度下的 $t$分布图：

从图中可以看出，随着自由度的增加，$t$分布越来越接近标准正态分布。当自由度为1时，分布的尾部最为厚重，这意味着更有可能出现极端值。随着自由度的增加，这种可能性逐渐减小。