卡方分布

${\chi }^2$（卡方）分布是一种概率分布，常用于统计学中的假设检验和置信区间构建，特别是与频数数据相关的检验。它是通过对多个独立标准正态分布随机变量的平方和构建而成的。

${\chi }^2$ 分布的特点包括：

1. 正偏斜性：${\chi }^2$ 分布通常是正偏斜的，也就是说，它的尾部向右延伸。这意味着大多数随机变量的值较小，而较大的值较少出现。

2. 形状参数：${\chi }^2$ 分布的形状由自由度参数（df）控制。自由度是平方和中独立变量的数量。更多的自由度将导致分布更接近正态分布。

3. 非负值：卡方分布是定义在非负数值上的，也就是说它的图形是在x轴的右侧（x ≥ 0）。

4. 对称性：卡方分布不是对称的。随着自由度的增加，卡方分布的形状会逐渐接近正态分布。

5. 峰值位置：随着自由度的增加，卡方分布的峰值会向右移动。自由度为1时，其峰值位于0附近，但随着自由度的增加，峰值会向右移动。

6. 尾部：卡方分布的右尾是重的，但随着自由度的增加，尾部会逐渐变得更轻。

7. 应用：${\chi }^2$ 分布通常用于执行假设检验，尤其是在分析分类数据时。例如，卡方检验就是一种使用 ${\chi }^2$ 分布的常见统计方法。

8. 置信区间：${\chi }^2$ 分布也用于构建置信区间，尤其是在估计总体方差时。这涉及到使用 ${\chi }^2$ 分布的分位数来确定参数估计的不确定性范围。

总之，${\chi }^2$ 分布在统计学中具有重要作用，它提供了一种用于推断和决策的工具，特别是在样本大小相对较小或数据呈正偏斜分布时

应用 §

卡方分布（Chi-squared distribution）是统计学中的一个重要概率分布，它与正态分布有关，并且在多种统计测试和推断中都有应用。以下是卡方分布的主要作用和应用：

1. 卡方拟合度检验：这是卡方分布最常见的应用之一。拟合度检验用于确定观察到的频数分布是否与期望的频数分布一致。例如，检验一个骰子是否公正。

2. 卡方独立性检验：在列联表（又称为交叉制表）中，独立性检验用于确定两个分类变量之间是否独立。例如，检验性别和投票选择之间是否有关联。

3. 方差分析：在统计学中，卡方分布常用于估计总体方差。

4. 置信区间的构建：对于正态分布的方差，其置信区间的构建可以基于卡方分布。

5. 多元统计分析：在多元统计中，如主成分分析，卡方分布有时用于某些统计量的推断。

6. 分布的定义：卡方分布是由独立的标准正态随机变量的平方和定义的。具体来说，如果 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_k$ 是独立的标准正态随机变量，则它们的平方和 $Q=Z_1^2+Z_2^2+\dots +Z_k^2$ 遵循有 $k$ 个自由度的卡方分布。

7. 最大似然估计：在某些统计模型中，如逻辑回归，卡方统计量用于比较模型的拟合度。

总的来说，卡方分布在统计学中有广泛的应用，特别是在假设检验和模型评估中。

正态、卡方、t、F分布之间的关系 §

正态分布、卡方分布（${\chi }^2$分布）、$t$分布和$F$分布是统计学中常用的连续概率分布，它们之间存在一定的关系和联系。

关系概述： §

1. 正态分布与其他分布：

   • $t$分布：当一个随机变量的样本均值与其总体均值之差被标准化后，且该随机变量服从正态分布，那么这个标准化的统计量服从$t$分布。
   • 卡方分布：一个或多个标准正态分布随机变量的平方和服从卡方分布。
   • $F$分布：两个独立的卡方分布随机变量的比值服从$F$分布。

2. 卡方分布与其他分布：

   • $t$分布：$t$分布可以看作由一个标准正态分布和一个与之独立的卡方分布构成。
   • $F$分布：如上所述，$F$分布是两个独立的卡方分布的比值。

3. $t$分布与$F$分布：

   • $t$分布的平方等于一个具有1个自由度的$F$分布。

具体关系： §

1. 从正态分布到卡方分布：

   • 如果 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ 是独立同分布的标准正态随机变量，则它们的平方和 $Q=Z_1^2+Z_2^2+\dots +Z_n^2$ 服从$n$个自由度的卡方分布。

2. 从正态分布到$t$分布：

   • 如果 $Z$ 是一个标准正态随机变量，$Q$ 是一个与 $Z$ 独立的、具有$\nu$个自由度的卡方随机变量，则 $T=\frac{Z}{\sqrt{Q/\nu }}$ 服从$\nu$个自由度的$t$分布。

3. 从卡方分布到$F$分布：

   • 如果 $Q_1$ 和 $Q_2$ 是两个独立的卡方随机变量，分别具有${\nu }_1$和${\nu }_2$个自由度，则 $F=\frac{Q_1/{\nu }_1}{Q_2/{\nu }_2}$ 服从$({\nu }_1,{\nu }_2)$个自由度的$F$分布。

这些关系在统计推断、假设检验和置信区间的构建中都有重要应用。

背景 §

卡方分布的出现和发展与统计学中的假设检验和拟合度检验有关。它的起源可以追溯到19世纪末和20世纪初，主要受到以下几个因素的影响：

1. 卡方检验的发展：卡方分布最初是由英国统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）在20世纪初用于开发卡方检验而提出的。卡方检验用于确定观察数据与期望数据之间的偏差程度，从而检验两组数据之间是否存在关联或独立性。这种检验在统计学和数据分析中非常有用，因此需要一种适用的概率分布来计算检验统计量的概率分布，这就是卡方分布的诞生。

2. 独立性和拟合度检验：卡方分布最初用于检验分类数据的独立性，但后来被拓展应用于检验拟合度，即观察数据是否符合某种理论或期望分布。这种拓展使卡方分布成为了更广泛的统计分析工具。

3. 广泛应用：卡方分布在统计学中的广泛应用使其逐渐成为一个重要的概率分布。它用于解决各种问题，包括医学研究、社会科学、工程和自然科学等各个领域。卡方分布的灵活性和实用性促使它被广泛采用。

总的来说，卡方分布的产生是为了满足统计学中的实际需求，尤其是假设检验和拟合度检验。它的应用范围广泛，使得统计学家和研究人员能够更好地分析和解释数据，做出科学决策。因此，卡方分布在统计学中具有重要地位。