2.样本与抽样分布

1 §

在总体 $X\sim N\left(20,4^2\right)$ 中随机抽取容量为 16 的样本, 求样本均值 $\bar{X}$ 落在 19 到 21 之间的概率。(参考数据: $\Phi (1)=0.8413,\Phi (2)=0.9772$ )

解：

详细解析：

在这种情况下，我们可以使用样本均值的抽样分布。根据中心极限定理，如果从一个总体中随机抽取容量为 $n$ 的样本，且总体的均值为 $\mu$ 和方差为 ${\sigma }^2$，则样本均值 $\bar{X}$ 的抽样分布接近于正态分布 $N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$。在这个例子中，我们得到样本均值的分布是 $\bar{X}\sim N\left(20,\frac{4^2}{16}\right)=N(20,1)$。

我们想要找到 $\bar{X}$ 落在 19 到 21 之间的概率，所以我们需要计算：

$P(19\le \bar{X}\le 21)$

为了解决这个问题，我们可以将 $\bar{X}$ 标准化，得到标准正态变量 $Z$：

$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\frac{\bar{X}-20}{1}$

现在我们可以将原始的概率写为：

$P(19\le \bar{X}\le 21)=P(-1\le Z\le 1)$

从标准正态分布表中，我们可以找到 $\Phi (1)=0.8413$ 和 $\Phi (-1)=1-\Phi (1)=0.1587$。最后，我们可以计算出概率：

$P(-1\le Z\le 1)=\Phi (1)-\Phi (-1)=0.8413-0.1587=0.6826$

所以，样本均值 $\bar{X}$ 落在 19 到 21 之间的概率是 0.6826 或 68.26%。

2 §

设总体 $X\sim N(0,9),X_1,X_2,\cdots ,X_6$ 是一个样本。求常数 $a,b,c$ 使$Y=a{X}_1^2+b{\left(X_2+X_3\right)}^2+c{\left(X_4+X_5+X_6\right)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 卡方分布, 并求出自由度。

解：

详细解析：

为了使 $Y$ 服从 ${\chi }^2$ 卡方分布，我们需要确保 $Y$ 是独立正态随机变量的平方和。给定 $X\sim N(0,9)$，即 $X$ 的标准差 $\sigma =3$，我们可以通过以下方式构造 $Y$：

卡方分布是通过对多个独立标准正态分布随机变量的平方和

1. $X_1^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，自由度为 1。为了使其成为标准正态随机变量的平方，我们需要除以 ${\sigma }^2$。因此，${\left(\frac{X_1}{3}\right)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，自由度为 1。所以，$a=\frac{1}{9}$。

2. $(X_2+X_3{)}^2$ 也可以被转化为 ${\chi }^2$ 分布，自由度为 1。注意，$X_2+X_3$ 的方差是两个独立随机变量方差的和，即 $2{\sigma }^2=18$。为了使其成为标准正态随机变量的平方，我们需要除以 $\sqrt{2{\sigma }^2}$。因此，${\left(\frac{X_2+X_3}{\sqrt{18}}\right)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，自由度为 1。所以，$b=\frac{1}{18}$。

3. 同理，$(X_4+X_5+X_6{)}^2$ 可以被转化为 ${\chi }^2$ 分布，自由度为 1。方差为 $3{\sigma }^2=27$。为了使其成为标准正态随机变量的平方，我们需要除以 $\sqrt{3{\sigma }^2}$。因此，${\left(\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{27}}\right)}^2$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，自由度为 1。所以，$c=\frac{1}{27}$。

总结： $a=\frac{1}{9}$ $b=\frac{1}{18}$ $c=\frac{1}{27}$

总自由度为 3，因为 $Y$ 是三个服从 ${\chi }^2$ 分布（每个自由度为 1）的随机变量的和。

3 §

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_5$ 是独立且服从相同分布的随机变量, 且每一个 $X_i(i=1,2,\cdots ,5)$ 都服从 $N(0,1)$, 证明:$\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{X_4^2+X_5^2}}\sim t(2)$ 。

解：

详细解析：

为了证明这个表达式服从自由度为2的t分布，我们可以按照以下步骤进行。

1. 标准正态随机变量的性质：

   • 已知 $X_i\sim N(0,1)$ 是标准正态随机变量，$i=1,2,\dots ,5$。
   • 标准正态随机变量的线性组合仍然是正态分布的。即如果 $a,b$ 是常数，那么 $aX+bY$ 是正态分布的，其中 $X,Y$ 是独立的标准正态随机变量。

2. 计算分子：

   • 令 $U=\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{3}}$。由于 $X_i$ 是独立同分布的，$U$ 是正态分布的，并且 $E[U]=0$，$Var[U]=1$。

3. 计算分母：

   • 令 $V=\sqrt{X_4^2+X_5^2}$。因为 $X_4$ 和 $X_5$ 是独立的标准正态随机变量，所以 $X_4^2$ 和 $X_5^2$ 是独立的卡方随机变量，每个具有1个自由度。因此，$V^2=X_4^2+X_5^2$ 是具有2个自由度的卡方分布，记为 $V^2\sim {\chi }^2(2)$。

4. 形成t分布：

   • 按照t分布的定义，如果 $U$ 和 $V$ 是独立的，并且 $U\sim N(0,1)$，$V^2\sim {\chi }^2(n)$，则 $\frac{U}{\sqrt{V^2/n}}\sim t(n)$。
   • 在这种情况下，$n=2$。将表达式稍微重写为 $\frac{U}{\sqrt{V^2/2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{X_4^2+X_5^2}}$。

所以，我们可以看到 $\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{X_4^2+X_5^2}}$ 的确服从自由度为2的t分布，即 $\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{X_4^2+X_5^2}}\sim t(2)$。

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为了证明给定的表达式服从自由度为2的t分布，我们需要考虑t分布的定义。t分布可以定义为： $T=\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$ 其中，$Z$ 是标准正态随机变量，$V$ 是自由度为$n$ 的卡方随机变量，且$Z$ 和$V$ 是独立的。

现在，考虑给定的表达式： $T^{\prime }=\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{X_4^2+X_5^2}}$

我们可以将其分解为两部分：

1. $Z^{\prime }=\frac{\sqrt{6}}{3}(X_1+X_2+X_3)$
2. $V^{\prime }=X_4^2+X_5^2$

首先，考虑$Z^{\prime }$： 由于$X_1,X_2,$ 和$X_3$ 都是独立的标准正态随机变量，它们的和也是正态分布的，且均值为0，方差为3。因此，$Z^{\prime }$ 是标准正态分布的，即$Z^{\prime }\sim N(0,1)$。

接下来，考虑$V^{\prime }$： 由于$X_4$ 和$X_5$ 都是独立的标准正态随机变量，它们的平方和服从自由度为2的卡方分布，即$V^{\prime }\sim {\chi }^2(2)$。

现在，我们已经有了一个标准正态随机变量$Z^{\prime }$ 和一个自由度为2的卡方随机变量$V^{\prime }$。将$Z^{\prime }$ 除以$V^{\prime }$ 的平方根并乘以自由度的平方根，我们得到： $T^{\prime }=\frac{Z^{\prime }}{\sqrt{V^{\prime }/2}}$

由于$Z^{\prime }$ 和$V^{\prime }$ 是独立的，这正是自由度为2的t分布的定义。因此，我们证明了$T^{\prime }\sim t(2)$。

4 §

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_5$ 为来自正态总体 $X\sim N(0,4)$ 的简单随机样本,证明: 统计量 $\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{X_1+X_2+X_3}{|X_4-X_5|}\sim t(1)$ 。

解：

详细解析：

为了证明给定的统计量服从自由度为1的t分布，我们需要考虑t分布的定义。t分布可以定义为： $T=\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$ 其中，$Z$ 是标准正态随机变量，$V$ 是自由度为$n$ 的卡方随机变量，且$Z$ 和$V$ 是独立的。

现在，考虑给定的统计量： $T^{\prime }=\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{X_1+X_2+X_3}{|X_4-X_5|}$

我们可以将其分解为两部分：

1. $Z^{\prime }=\sqrt{\frac{2}{3}}(X_1+X_2+X_3)$
2. $V^{\prime }=(X_4-X_5{)}^2$

首先，考虑$Z^{\prime }$： 由于$X_1,X_2,$ 和$X_3$ 都是独立的且服从$N(0,4)$ 分布的随机变量，它们的和也是正态分布的，且均值为0，方差为12。为了将其标准化，我们需要除以方差的平方根，即除以(\sqrt{12})。这给出： $Z^{\prime }=\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{X_1+X_2+X_3}{\sqrt{12}}$ 由此，我们可以得出$Z^{\prime }$ 是标准正态分布的，即$Z^{\prime }\sim N(0,1)$。

接下来，考虑$V^{\prime }$： 由于$X_4$ 和$X_5$ 都是独立的且服从$N(0,4)$ 分布的随机变量，它们的差$(X_4-X_5)$ 也是正态分布的，且均值为0，方差为8。因此，$(X_4-X_5{)}^2$ 除以方差是一个自由度为1的卡方分布的随机变量，即$V^{\prime }\sim {\chi }^2(1)$。

现在，我们已经有了一个标准正态随机变量$Z^{\prime }$ 和一个自由度为1的卡方随机变量$V^{\prime }$。将$Z^{\prime }$ 除以$V^{\prime }$ 的平方根，我们得到： $T^{\prime }=\frac{Z^{\prime }}{\sqrt{V^{\prime }}}$

由于$Z^{\prime }$ 和$V^{\prime }$ 是独立的，这正是自由度为1的t分布的定义。因此，我们证明了$T^{\prime }\sim t(1)$。

5 §

设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,0.2^2\right)$, 而 $X_1,X_2,\cdots ,X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本,则随机变量 $Y=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{2\left(X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2\right)}$ 服从什么分布？

解：

详细解析:

为了确定随机变量$Y$ 的分布，我们首先考虑其组成部分。

1. $X_1^2+\cdots +X_{10}^2$
2. $X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2$

由于$X_i$ 服从$N(0,0.2^2)$ 分布，它们的平方$X_i^2$ 服从卡方分布，且每个$X_i^2$ 有1个自由度。

1. $X_1^2+\cdots +X_{10}^2$ 服从自由度为10的卡方分布，记为${\chi }^2(10)$。
2. $X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2$ 服从自由度为5的卡方分布，记为${\chi }^2(5)$。

现在，考虑随机变量$Y$ 的定义： $Y=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{2(X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2)}$

这是两个卡方分布随机变量的比值，其中分子的自由度是10，分母的自由度是5，并且分母被乘以一个常数2。

这种比值的分布称为F分布。具体地说，如果$U$ 服从${\chi }^2(m)$ 分布，$V$ 服从${\chi }^2(n)$ 分布，且$U$ 和$V$ 是独立的，那么随机变量 $F=\frac{U/m}{V/n}$ 服从自由度为$m$ 和$n$ 的F分布，记为$F(m,n)$。

对于给定的$Y$，我们有$m=10$ 和$n=5$，但由于分母乘以了2，我们需要调整定义。具体地说，我们可以将$Y$ 重写为： $Y=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{2}\times \frac{1}{X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2}$

第一个部分是${\chi }^2(10)$ 分布的一半，第二部分仍然是${\chi }^2(5)$ 分布。因此，我们可以得出结论，$Y$ 服从$F(10,5)$ 分布。

6 §

若 $X\sim t(n)$, 则 $\frac{1}{X^2}$ 服从什么分布, 并证明。

证明：

详细解析：

若$X\sim t(n)$，那么$X$ 可以表示为： $X=\frac{Z}{\sqrt{V/n}}$ 其中，$Z$ 是标准正态随机变量，$V$ 是自由度为$n$ 的卡方随机变量，且$Z$ 和$V$ 是独立的。

考虑$X^2$： $X^2=\frac{Z^2}{V/n}$

由于$Z^2$ 服从${\chi }^2(1)$ 分布，我们可以将$X^2$ 看作两个独立的卡方分布随机变量的比值，其中分子的自由度是1，分母的自由度是$n$。

这种比值的分布称为F分布。具体地说，如果$U$ 服从${\chi }^2(m)$ 分布，$V$ 服从${\chi }^2(n)$ 分布，且$U$ 和$V$ 是独立的，那么随机变量 $F=\frac{U/m}{V/n}$ 服从自由度为$m$ 和$n$ 的F分布，记为$F(m,n)$。

对于$X^2$，我们有$m=1$ 和$n=n$，因此$X^2$ 服从$F(1,n)$ 分布。

现在，考虑$\frac{1}{X^2}$： 由于$X^2$ 服从$F(1,n)$ 分布，那么$\frac{1}{X^2}$ 服从$F(n,1)$ 分布。

因此，我们得出结论：若$X\sim t(n)$，则$\frac{1}{X^2}$ 服从$F(n,1)$ 分布。