标准化

将普通正态分布转换为标准正态分布的过程称为标准化，通常需要两个步骤：计算 z 分数（z-score）和查找标准正态分布表格或使用统计软件计算。

“Z” 在标准正态分布中代表标准化的 z 分数（z-score）。这个字母 “Z” 的使用是为了表示标准正态分布的随机变量与它的均值之间的距离，以标准差的倍数来度量。因此，当你计算一个值的 z 分数时，实际上是在衡量这个值与均值之间的差异，用标准差作为度量尺度。

这是标准化的步骤：

1. 计算 z 分数（z-score）： 对于给定的普通正态分布中的随机变量 X，首先计算 z 分数，公式如下：

   $z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

   其中，$X$ 是你要标准化的值，$\mu$ 是普通正态分布的均值，$\sigma$ 是普通正态分布的标准差。

2. 查找标准正态分布表格或使用软件计算： 一旦你计算出 z 分数，你可以查找标准正态分布表格（z 表）或使用统计软件（如Excel、Python、R等）来计算标准正态分布中相应 z 分数对应的累积概率或百分位点。

   • 如果你想查找累积概率（即 X 在某个值以下的概率），则在标准正态分布表格或软件中查找 z 分数对应的概率。

   • 如果你想查找百分位点（即 X 的值对应的累积概率），则在标准正态分布表格或软件中查找给定概率对应的 z 分数。

标准正态分布表格通常提供了一些常见的 z 分数和相应的累积概率。如果你使用统计软件，你可以使用相应的函数来计算。

例如，如果要将普通正态分布中的随机变量 X=30 转换为标准正态分布：

1. 假设普通正态分布的均值为 $\mu ={\mu }_X$，标准差为 $\sigma ={\sigma }_X$。
2. 计算 z 分数： $z=\frac{30-{\mu }_X}{{\sigma }_X}$
3. 查找 z 分数对应的累积概率，可以使用标准正态分布表格或计算软件来获取相应的概率值。

这样，你就可以将普通正态分布中的值 X 转换为标准正态分布中的 z 分数，并获得相应的概率或百分位点。

标准化样本均值 §

$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ 是标准化样本均值 $\bar{X}$ 的常用公式，其中 $Z$ 表示标准化的 z 分数，$\bar{X}$ 表示样本均值，$\mu$ 表示总体均值，$\sigma$ 表示总体标准差，$n$ 表示样本容量。

这个公式的来历可以通过以下方式来理解：

1. 样本均值的期望值和方差：

   根据概率统计的性质，样本均值 $\bar{X}$ 的期望值等于总体均值 $\mu$，而样本均值的方差等于总体方差除以样本容量 $n$，即 $\text{Var}(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$。

2. 标准化的目的：

   我们通常希望将样本均值 $\bar{X}$ 转化为一个标准化的 z 分数 $Z$，以便于进行统计推断或与标准正态分布进行比较。标准化的目的是消除不同总体的均值和方差的影响，使得不同样本均值之间可以进行比较。

3. 标准化公式的推导：

   假设我们有一个普通正态分布的样本均值 $\bar{X}$，我们希望将其标准化为 $Z$。首先，我们可以计算 $\bar{X}$ 与总体均值 $\mu$ 之间的差异，然后除以 $\bar{X}$ 的标准差，以消除样本容量 $n$ 对方差的影响。标准差的标准化形式是 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。

   因此，$Z$ 表示样本均值与总体均值之间的差异以标准差的倍数，即 $Z$ 表示多少个标准差的差异。这使得 $Z$ 在标准正态分布中具有特定的概率性质，从而使得我们可以在统计推断中使用标准正态分布的 z 表来查找概率或进行假设检验。

总之，$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ 是标准化样本均值的公式，帮助我们将样本均值与总体均值之间的差异以标准差的倍数表示，从而便于统计分析。这个公式在统计学中非常有用，特别是在假设检验和置信区间的计算中。