5.回归分析

某医院用光电比色计检验尿永时, 测得尿永含量 $(\mathrm{mg}/\mathrm{l})$ 与消光系数读数的结果如下:

已知 $Y_i$ 与 $x_i$ 之间服从线性模型 $Y_i=a+b{x}_i+{\epsilon }_i,{\epsilon }_i\sim N\left(0,{\sigma }^2\right),i=1,2,\cdots ,5$.

(1) §

试求系数 $a,b$ 的估计值, 并写出线性回归直线方程; 解：

详细解析： 首先，我们需要计算一些基本的统计量，如 $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum y_i^2$ 和 $\sum x_i{y}_i$。

已知数据： $x_i=\{2,4,6,8,10\}$ $y_i=\{64,138,205,285,360\}$

1.求系数 $a$ 和 $b$ 的估计值，并写出线性回归直线方程。 线性回归模型的系数估计值为：

公式详细来源见这里，上图中是化简后的公式

$\hat{b}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$ $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$

我们将使用上述公式来计算 $a$ 和 $b$ 的估计值。

2.根据计算，系数 $a$ 和 $b$ 的估计值分别为： $a=-11.3$ $b=36.95$

因此，线性回归直线方程为： $Y=-11.3+36.95X$

(2) §

求 ${\sigma }^2$ 的无偏估计值;

解：

详细解析：

通过残差平方和$SSE$计算 ${\sigma }^2$ 的无偏估计值

$SSE=\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$ 其中，${\hat{y}}_i=a+b{x}_i$

最后，无偏估计值${\sigma }^2$可以通过以下公式计算：

${\sigma }^2=\frac{SSE}{n-2}$

在简单线性回归中，${\sigma }^2$ 的无偏估计是由残差平方和 $SSE$ 除以自由度来得到的。这里的自由度是 $n-2$。

为什么是 $n-2$ 呢？我们来解释一下：

1. 总的观测值数目：我们有 $n$ 个观测值。

2. 估计的参数数目：在简单线性回归中，我们估计了两个参数，即截距 $a$ 和斜率 $b$。

3. 自由度：由于我们估计了两个参数，我们失去了两个自由度。因此，残差的自由度是 $n-2$。

当我们计算 $SSE$，我们实际上是在计算模型与实际观测值之间的差异。为了得到每个观测值的平均差异（即方差），我们需要将 $SSE$ 除以其自由度，这就是为什么我们使用 $n-2$ 而不是 $n$。

使用 $n-2$ 作为分母可以确保得到的 ${\sigma }^2$ 是无偏的。如果我们使用 $n$ 或 $n-1$ 作为分母，那么得到的估计值将是有偏的。

经过计算，我们得到${\sigma }^2$的无偏估计值为$\frac{371}{30}$或约等于 12.367。

因此，${\sigma }^2$的无偏估计值为 12.367。

(3) §

检验 $Y$ 与 $x$ 之间是否存在显著的线性相关关系(取 $\alpha =0.05$ ); 解： 详细解析： 要检验 $Y$ 与 $x$ 之间是否存在显著的线性相关关系，我们可以使用线性回归的 $t$ 检验。具体来说，我们将检验斜率 $b$ 是否显著地不等于0。

回归系数 $b$ 的 $t$ 统计量可以通过以下公式计算：

$t=\frac{b}{s_b}$

其中 $s_b$ 是 $b$ 的标准误差，可以通过以下公式计算：

$s_b=\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$

在这里，${\sigma }^2$ 是残差的方差，我们已经在前面的计算中得到了它的无偏估计值。

一旦我们得到 $t$ 统计量的值，我们可以与 $t$ 分布的临界值进行比较，以确定 $b$ 是否显著地不等于0。具体来说，我们将查找自由度为 $n-2$ 的 $t$ 分布的双尾临界值，对应于显著性水平 $\alpha =0.05$。

现在，我们可以计算 $t$ 统计量的值，并确定 $Y$ 与 $x$ 之间是否存在显著的线性相关关系。

由于我们的 $t$ 统计量的绝对值大于临界值，这意味着 $Y$ 与 $x$ 之间存在显著的线性相关关系。

(4) §

在 $x=12$ 时, 做出 $Y$ 的预测区间 (取置信概率为 0.95 )。 参考数据:

$$\begin{array}{l}{F}_{0.025}(1,3)=17.44,F_{0.05}(1,3)=10.13,F_{0.05}(1,5)=6.61,\\ t_{0.025}(4)=2.776,t_{0.025}(5)=2.5706,t_{0.025}(3)=3.182\end{array}$$

解： 详细解析： 为了得到 $Y$ 的预测区间，我们可以使用以下公式：

$\hat{y}\pm t_{\alpha /2,n-2}\times s\times \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x-\bar{x}{)}^2}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}$

其中：

• $\hat{y}$ 是 $x$ 对应的 $Y$ 的预测值，可以通过 $\hat{y}=a+bx$ 计算。
• $t_{\alpha /2,n-2}$ 是自由度为 $n-2$ 的 $t$ 分布的双尾临界值，对应于置信概率 $1-\alpha$。
• $s$ 是残差的标准差，等于 $\sqrt{{\sigma }^2}$。
• $n$ 是数据点的数量。
• $x$ 是我们要预测的值，这里 $x=12$。
• $\bar{x}$ 是 $x_i$ 的均值。

现在，我们可以使用给定的数据和上述公式来计算 $Y$ 的预测区间。