正态分布

正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线分布，是统计学中最重要和最常见的概率分布之一。它的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）在数学上由以下公式描述：

正态分布的概率密度函数：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

其中：

• $x$ 是随机变量的取值。
• $\mu$ 是分布的均值（期望值），表示分布的中心位置。
• $\sigma$ 是分布的标准差，用于衡量数据的离散程度，标准差越大，数据越分散。
• $e$ 是自然对数的底，约为2.71828。
• $\pi$ 是圆周率，约为3.14159。

正态分布的特点和性质包括：

1. 对称性：正态分布是对称的，关于均值 $\mu$ 对称。这意味着分布的左侧和右侧尾部是镜像对称的。

2. 高峰度：正态分布的概率密度函数在均值处达到最大值，因此在均值附近有一个峰值，形状呈钟形，故又称为钟形曲线。

3. 参数影响：均值 $\mu$ 决定了分布的中心位置，而标准差 $\sigma$ 决定了分布的宽度。较大的标准差表示数据更分散，较小的标准差表示数据更集中。

4. 68-95-99.7法则：在正态分布中，约有68%的数据落在均值的一个标准差范围内，约有95%的数据落在均值的两个标准差范围内，约有99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内。这个法则有助于理解正态分布中数据的分布情况。

5. 线性组合性质：任何线性组合仍然是正态分布。具体来说，如果$X\sim N({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$和$Y\sim N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$是独立的正态分布随机变量，那么$aX+bY$（其中$a$和$b$是常数）也是正态分布。

背景 §

正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）的公式可以追溯到高斯（Gauss）这位著名的数学家，他首次提出了这个分布。正态分布的概率密度函数是通过数学推导和统计概念而来的。

以下是正态分布概率密度函数的推导过程的简要概述：

1. 开始于独立同分布的随机变量：正态分布的概率密度函数是基于独立同分布（Independent and Identically Distributed，i.i.d.）的随机变量构建的。这表示我们有一系列相互独立的随机变量，它们具有相同的分布。

2. 中心极限定理：正态分布的重要性部分归因于中心极限定理。中心极限定理表明，当我们对足够多的独立随机变量进行加权和时，这些随机变量的和近似服从正态分布。这是因为许多现实世界的现象可以被视为许多独立因素的总和。

3. 构建概率密度函数：为了构建正态分布的概率密度函数，我们需要考虑每个独立随机变量的贡献，并对它们进行合适的加权。高斯在这里的关键洞察是，正态分布的形状取决于每个随机变量的二次方（即$(x-\mu {)}^2$），而且它是一个关于 $x$ 的指数函数。高斯选择了指数函数作为权重，因为它具有良好的数学性质。

4. 归一化：最后，为了确保概率密度函数的面积等于1，我们需要除以一个适当的归一化常数，这个常数是 $\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}$，其中 $\sigma$ 是标准差，$\pi$ 是圆周率。

因此，正态分布的概率密度函数是通过这些步骤构建的，它使得随机变量的概率分布在数学上非常方便，并且适用于许多自然现象和实际应用中的数据建模。这个函数的形状呈钟形曲线，具有许多重要的统计性质，因此在统计学和数据分析中具有广泛的应用。

应用 §

正态分布在实际应用中非常广泛，因为许多自然现象和人类行为都可以近似地用正态分布来描述，例如身高、体重、测试分数、温度测量误差等。此外，许多统计推断方法和假设检验都基于正态分布的性质。因此，正态分布在统计学、科学研究和工程领域中具有重要意义。

拓展 §

检验数据是否服从正态分布 §

确定数据是否服从正态分布通常涉及一系列统计方法和图形检查。以下是一些常见的方法和技巧，用于检验数据的正态性：

1. 直方图和密度估计图：首先，绘制数据的直方图或密度估计图，以观察数据的分布形状。正态分布通常呈现出钟形曲线的形状，因此数据的直方图或密度估计图应该具有类似的形状。注意，这并不是确定正态性的充分条件，因为其他分布也可能具有类似的形状。

2. 正态概率图（Q-Q 图）：正态概率图是一种常用于检验数据正态性的图形工具。在正态概率图中，将数据的标准化值（z 分数）绘制在 x 轴上，将样本分位数绘制在 y 轴上。如果数据服从正态分布，这个图形应该呈现出一条大致线性的趋势线，与45度线相似。

3. 统计检验：有一些统计检验可用于检验数据是否服从正态分布。其中最常用的是Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验。这些检验会产生一个 p 值，用于衡量数据是否与正态分布一致。较大的 p 值表明数据可能服从正态分布，而较小的 p 值则表明数据不太可能服从正态分布。

4. 概率图示法：概率图示法是一种通过绘制经验累积分布函数（ECDF）和理论正态分布的累积分布函数进行比较的方法。如果数据与正态分布一致，这两个累积分布函数应该基本重合。

需要注意的是，这些方法并不总是能够确定数据是否严格服从正态分布，特别是当数据量较小或存在异常值时。因此，通常需要综合考虑多个方法的结果，并谨慎地解释检验结果。

此外，正态性并不是数据分析的唯一关注点。在实际应用中，即使数据不是严格的正态分布，也可以使用许多统计方法，前提是了解数据的分布特性，并选择适当的方法来处理数据。